📝 题目
＊3．设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数，它在 $[-1,1)$ 上的表达式为 $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$ ．试将 $f(x)$ 展开成复数形式的傅里叶级数．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知 $ f(x) $ 是周期为 2 的函数，在区间 $[-1,1)$ 上表达式为 $ f(x) = e^{-x} $。 复数形式的傅里叶级数展开公式为：
$$ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i n \omega x} $$ 其中基频 $$ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi $$ 所以 $$ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i n \pi x} $$
傅里叶系数公式为： $$ c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) e^{-i n \omega x} \, dx $$ 代入 $ T=2 $，$\omega=\pi$： $$ c_n = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} e^{-x} e^{-i n \pi x} \, dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} e^{-(1 + i n \pi)x} \, dx $$
计算积分： $$ \int_{-1}^{1} e^{-(1 + i n \pi)x} \, dx = \left[ \frac{e^{-(1 + i n \pi)x}}{-(1 + i n \pi)} \right]_{-1}^{1} = \frac{e^{-(1 + i n \pi)} - e^{1 + i n \pi}}{-(1 + i n \pi)} $$
注意 $ e^{i n \pi} = (-1)^n $，因此： $$ e^{-(1 + i n \pi)} = e^{-1} (-1)^n,\quad e^{1 + i n \pi} = e^{1} (-1)^n $$ 于是： $$ \int_{-1}^{1} e^{-(1 + i n \pi)x} \, dx = \frac{(-1)^n (e^{-1} - e^{1})}{-(1 + i n \pi)} = \frac{(-1)^n (e^{1} - e^{-1})}{1 + i n \pi} $$
所以： $$ c_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{(-1)^n (e - e^{-1})}{1 + i n \pi} = \frac{(-1)^n \sinh(1)}{1 + i n \pi} $$ 因为 $ \sinh(1) = \frac{e - e^{-1}}{2} $。
因此复数形式的傅里叶级数为： $$ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{(-1)^n \sinh(1)}{1 + i n \pi} \, e^{i n \pi x} $$
难度评级：★★☆☆☆ （主要考察复数傅里叶系数公式与简单指数积分，计算量小，但需注意符号处理）