📝 题目
2．已知级数 $x^{2}+\frac{x^{2}}{1+x^{2}}+\frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}+\cdots$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上收敛． （1）求出该级数的和； （2）问 $N(\varepsilon, x)$ 取多大，能使当 $n\gt N$ 时，级数的余项 $r_{n}$ 的绝对值小于正数 $\varepsilon$ ； （3）分别讨论级数在区间 $[0,1],\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上的一致收敛性．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**题目**：已知级数 $$ x^{2}+\frac{x^{2}}{1+x^{2}}+\frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}+\cdots $$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上收敛。 （1）求出该级数的和； （2）问 $N(\varepsilon, x)$ 取多大，能使当 $n>N$ 时，级数的余项 $r_n$ 的绝对值小于正数 $\varepsilon$； （3）分别讨论级数在区间 $[0,1],\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上的一致收敛性。
---
### （1）求级数的和
观察级数通项： $$ u_0 = x^2,\quad u_1 = \frac{x^2}{1+x^2},\quad u_2 = \frac{x^2}{(1+x^2)^2},\dots $$ 这是等比级数，公比为 $$ q = \frac{1}{1+x^2} $$ 首项为 $a = x^2$。
当 $x \neq 0$ 时，$0 < q < 1$，级数收敛，和为 $$ S(x) = \frac{a}{1-q} = \frac{x^2}{1 - \frac{1}{1+x^2}} = \frac{x^2}{\frac{x^2}{1+x^2}} = 1+x^2 $$ 当 $x=0$ 时，每一项都是 0，和为 0，而公式 $1+x^2$ 给出 1，所以需要单独说明。
因此： $$ \boxed{S(x) = \begin{cases} 1+x^2, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}} $$
---
### （2）求余项估计与 $N(\varepsilon, x)$
部分和： $$ S_n(x) = x^2 \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(1+x^2)^k} = x^2 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{1+x^2}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{1+x^2}} = (1+x^2)\left[1 - \frac{1}{(1+x^2)^{n+1}}\right] $$ 余项： $$ r_n(x) = S(x) - S_n(x) = \begin{cases} (1+x^2) \cdot \frac{1}{(1+x^2)^{n+1}} = \frac{1}{(1+x^2)^n}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases} $$ 因此当 $x \neq 0$ 时： $$ |r_n(x)| = \frac{1}{(1+x^2)^n} $$ 要求 $|r_n(x)| < \varepsilon$，即： $$ \frac{1}{(1+x^2)^n} < \varepsilon \quad\Rightarrow\quad (1+x^2)^n > \frac{1}{\varepsilon} $$ 取对数： $$ n \ln(1+x^2) > -\ln\varepsilon $$ 由于 $\ln(1+x^2) > 0$（当 $x \neq 0$），得： $$ n > \frac{-\ln\varepsilon}{\ln(1+x^2)} $$ 所以可取： $$ \boxed{N(\varepsilon, x) = \left\lfloor \frac{-\ln\varepsilon}{\ln(1+x^2)} \right\rfloor} $$ 当 $x=0$ 时，余项恒为 0，任意 $N$ 均可。
---
### （3）一致收敛性讨论
#### 区间 $[0,1]$
在 $x=0$ 处，和函数 $S(0)=0$，但 $S_n(0)=0$，所以收敛。但在 $x$ 靠近 0 时， $$ \sup_{x\in[0,1]} |r_n(x)| = \sup_{x\in[0,1]} \frac{1}{(1+x^2)^n} $$ 当 $x=0$ 时，该项为 1，不趋于 0，因此： $$ \lim_{n\to\infty} \sup_{x\in[0,1]} |r_n(x)| = 1 \neq 0 $$ 所以**不一致收敛**。
#### 区间 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$
此时 $x \ge \frac12$，有： $$ 1+x^2 \ge 1+\frac14 = \frac54 $$ 因此： $$ |r_n(x)| \le \frac{1}{(5/4)^n} = \left(\frac45\right)^n \to 0 $$ 且上界与 $x$ 无关，所以一致收敛。
结论： $$ \boxed{\text{在 }[0,1]\text{ 不一致收敛；在 }\left[\frac12,1\right]\text{ 一致收敛}} $$
---
**难度评级**：★★★☆☆