📝 题目
3．按定义讨论下列级数在所给区间上的一致收敛性： （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}},(-\infty,+\infty)$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty}(1-x) x^{n},(0,1)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 考察级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{n}}, \quad x\in(-\infty,+\infty). $$
**步骤1：求部分和** 记 $$ S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{k}}. $$ 这是公比为 $q = -\frac{1}{1+x^{2}}$ 的等比级数（首项为 $\frac{x^{2}}{1+x^{2}}$），所以 $$ S_n(x) = \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \cdot \frac{1 - \left(-\frac{1}{1+x^{2}}\right)^{n}}{1 + \frac{1}{1+x^{2}}}. $$ 化简分母： $$ 1 + \frac{1}{1+x^{2}} = \frac{1+x^{2}+1}{1+x^{2}} = \frac{x^{2}+2}{1+x^{2}}. $$ 因此 $$ S_n(x) = \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \cdot \frac{1 - \left(-\frac{1}{1+x^{2}}\right)^{n}}{\frac{x^{2}+2}{1+x^{2}}} = \frac{x^{2}}{x^{2}+2}\left[1 - \left(-\frac{1}{1+x^{2}}\right)^{n}\right]. $$
**步骤2：求极限函数** 当 $n\to\infty$，由于 $1+x^{2} \ge 1$，有 $$ \left|\frac{1}{1+x^{2}}\right| \le 1, $$ 但注意当 $x=0$ 时，$\frac{1}{1+0}=1$，此时 $(-1)^{n-1}$ 振荡，不过 $x=0$ 时每一项为0，所以级数和为0。 对于 $x\neq 0$，有 $1+x^{2}>1$，故 $\left|\frac{1}{1+x^{2}}\right|<1$，从而 $$ \lim_{n\to\infty} \left(-\frac{1}{1+x^{2}}\right)^{n} = 0. $$ 所以极限函数为 $$ S(x) = \frac{x^{2}}{x^{2}+2}, \quad x\in(-\infty,+\infty). $$ （当 $x=0$ 时，上式也给出0，一致。）
**步骤3：讨论一致收敛性** 余项为 $$ R_n(x) = S(x) - S_n(x) = \frac{x^{2}}{x^{2}+2} \left(-\frac{1}{1+x^{2}}\right)^{n}. $$ 其绝对值为 $$ |R_n(x)| = \frac{x^{2}}{x^{2}+2} \cdot \frac{1}{(1+x^{2})^{n}}. $$ 考虑函数 $$ f_n(x) = \frac{x^{2}}{(x^{2}+2)(1+x^{2})^{n}}. $$ 当 $x=0$ 时，$f_n(0)=0$。当 $x\neq 0$，令 $t=x^{2}\ge 0$，则 $$ g_n(t) = \frac{t}{(t+2)(1+t)^{n}}. $$ 求最大值：对 $t>0$， $$ g_n'(t) = \frac{(t+2)(1+t)^{n} - t[(1+t)^{n} + n(t+2)(1+t)^{n-1}]}{(t+2)^{2}(1+t)^{2n}}. $$ 分子提取 $(1+t)^{n-1}$ 后化简为 $$ (1+t)^{n-1}\left[(t+2)(1+t) - t(1+t) - n t(t+2)\right] = (1+t)^{n-1}\left[2(1+t) - n t(t+2)\right]. $$ 令导数为0得 $$ 2(1+t) - n t(t+2)=0 \quad\Rightarrow\quad n t^{2}+2n t -2t -2=0. $$ 即 $$ n t^{2} + (2n-2)t -2 =0. $$ 解得正根 $$ t_n = \frac{-(2n-2) + \sqrt{(2n-2)^{2}+8n}}{2n}. $$ 当 $n$ 很大时，近似 $t_n \sim \sqrt{\frac{2}{n}}$，代入得 $$ g_n(t_n) \approx \frac{\sqrt{2/n}}{2 \cdot 1^{n}} = \frac{1}{\sqrt{2n}} \to 0. $$ 因此 $$ \sup_{x\in\mathbb{R}} |R_n(x)| \to 0 \quad (n\to\infty). $$ 故级数在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。
**（2）** 考察级数 $$ \sum_{n=0}^{\infty} (1-x)x^{n}, \quad x\in(0,1). $$
**步骤1：求部分和** 这是公比为 $x$ 的等比级数（首项为 $1-x$），所以 $$ S_n(x) = (1-x)\frac{1-x^{n+1}}{1-x} = 1 - x^{n+1}. $$
**步骤2：极限函数** 当 $0 **步骤3：讨论一致收敛性** 余项为 $$ R_n(x) = 1 - (1 - x^{n+1}) = x^{n+1}. $$ 在区间 $(0,1)$ 上， $$ \sup_{x\in(0,1)} |R_n(x)| = \sup_{x\in(0,1)} x^{n+1} = 1 \quad (\text{当 }x\to 1^{-}) . $$ 它不趋于0，因此级数在 $(0,1)$ 上不一致收敛。 **答案** （1）一致收敛； （2）不一致收敛。 **难度评级**：★★★☆☆