📝 题目
4．利用魏尔斯特拉斯判别法证明下列级数在所给区间上的一致收敛性： （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{2^{n}},(-\infty,+\infty)$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt[3]{n^{4}+x^{4}}},(-\infty,+\infty)$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-n x},[0,+\infty)$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{n!},(-10,10)$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\left(1-\mathrm{e}^{-n x}\right)}{n^{2}+x^{2}},[0,+\infty)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{2^{n}}, \quad (-\infty,+\infty)$
对于任意实数 $x$，有 $$ \left|\frac{\cos n x}{2^{n}}\right| \le \frac{1}{2^{n}}. $$ 而级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}$ 是收敛的（公比 $1/2$ 的几何级数）。 由魏尔斯特拉斯判别法（M-判别法），原级数在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。
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**（2）** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt[3]{n^{4}+x^{4}}}, \quad (-\infty,+\infty)$
对于任意 $x\in\mathbb{R}$，有 $$ \left|\frac{\sin n x}{\sqrt[3]{n^{4}+x^{4}}}\right| \le \frac{1}{\sqrt[3]{n^{4}}} = \frac{1}{n^{4/3}}. $$ 而 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4/3}}$ 是 $p=4/3>1$ 的 $p$-级数，收敛。 由M-判别法，原级数在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。
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**（3）** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-n x}, \quad [0,+\infty)$
当 $x=0$ 时，通项为 $0$，显然一致收敛性只需考虑 $x>0$。 对于 $x\ge 0$，函数 $f(x)=x^{2}e^{-nx}$ 在 $x\ge 0$ 上连续，求最大值： 令导数 $2x e^{-nx} - n x^{2} e^{-nx}=x e^{-nx}(2 - n x)=0$，得 $x=2/n$。 最大值 $$ \max_{x\ge 0} x^{2}e^{-nx} = \frac{4}{n^{2}} e^{-2}. $$ 因此 $$ \left| x^{2} e^{-n x} \right| \le \frac{4}{n^{2}} e^{-2}. $$ 而 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{4e^{-2}}{n^{2}}$ 收敛，由M-判别法，原级数在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛。
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**（4）** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{n!}, \quad (-10,10)$
对于 $x\in(-10,10)$，有 $$ \left|\frac{e^{-n x}}{n!}\right| = \frac{e^{-n x}}{n!} \le \frac{e^{10n}}{n!}. $$ 考虑级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{e^{10n}}{n!}$，由比值判别法： $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{e^{10(n+1)}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{e^{10n}} = \frac{e^{10}}{n+1} \to 0 < 1, $$ 故该级数收敛。由M-判别法，原级数在 $(-10,10)$ 上一致收敛。
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**（5）** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\left(1-\mathrm{e}^{-n x}\right)}{n^{2}+x^{2}}, \quad [0,+\infty)$
对于 $x\ge 0$，有 $$ \left| \frac{(-1)^{n}(1-e^{-n x})}{n^{2}+x^{2}} \right| \le \frac{1}{n^{2}+x^{2}} \le \frac{1}{n^{2}}. $$ 而 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收敛，由M-判别法，原级数在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛。
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**难度评级**：★★☆☆☆