📝 题目
1．将下列各周期函数展开成傅里叶级数（下面给出函数在一个周期内的表达式）： （1）$f(x)=1-x^{2}\left(-\frac{1}{2} \leqslant x\lt \frac{1}{2}\right)$ ； （2）$f(x)= \begin{cases}x, & -1 \leqslant x\lt 0, \\ 1, & 0 \leqslant x\lt \frac{1}{2}, \\ -1 & \frac{1}{2} \leqslant x\lt 1 ;\end{cases}$ （3）$f(x)= \begin{cases}2 x+1, & -3 \leqslant x\lt 0, \\ 1, & 0 \leqslant x\lt 3 .\end{cases}$
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**（1）** 周期函数 $f(x)=1-x^{2}$，周期 $T=1$，半周期 $l=\frac12$。 傅里叶级数形式： $$ f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(2n\pi x)+b_n\sin(2n\pi x)\right) $$ 计算系数： $$ a_0 = \frac{2}{T}\int_{-l}^{l}f(x)\,dx = 2\int_{-\frac12}^{\frac12}(1-x^2)\,dx =2\left[ x-\frac{x^3}{3} \right]_{-\frac12}^{\frac12} =2\left( \left(\frac12-\frac1{24}\right)-\left(-\frac12+\frac1{24}\right) \right) =2\left(1-\frac1{12}\right)=\frac{11}{6} $$ $$ a_n = 2\int_{-\frac12}^{\frac12}(1-x^2)\cos(2n\pi x)\,dx $$ 利用奇偶性：$1-x^2$ 为偶函数，$\cos$ 为偶函数，故 $$ a_n = 4\int_{0}^{\frac12}(1-x^2)\cos(2n\pi x)\,dx $$ 先计算积分： $$ \int (1-x^2)\cos(2n\pi x)\,dx $$ 分部积分两次，或直接查表得： $$ \int_0^{\frac12}(1-x^2)\cos(2n\pi x)\,dx = \frac{(-1)^n}{2n^2\pi^2} $$ 因此 $$ a_n = \frac{4(-1)^n}{2n^2\pi^2} = \frac{2(-1)^n}{n^2\pi^2} $$ 又因为 $f(x)$ 为偶函数，所以 $b_n=0$。
故傅里叶级数为： $$ f(x) \sim \frac{11}{12} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^n}{n^2\pi^2} \cos(2n\pi x) $$
**（2）** 周期 $T=2$，半周期 $l=1$。 傅里叶级数形式： $$ f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\right) $$ 计算： $$ a_0 = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\,dx = \int_{-1}^{1}f(x)\,dx = \int_{-1}^{0}x\,dx + \int_{0}^{\frac12}1\,dx + \int_{\frac12}^{1}(-1)\,dx $$ $$ = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} + \left[x\right]_{0}^{\frac12} + \left[-x\right]_{\frac12}^{1} = \left(0-\frac12\right) + \frac12 + \left(-1+\frac12\right) = -\frac12+\frac12-\frac12 = -\frac12 $$ 所以 $\frac{a_0}{2} = -\frac14$。
$$ a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos(n\pi x)\,dx = \int_{-1}^{0}x\cos(n\pi x)\,dx + \int_{0}^{\frac12}\cos(n\pi x)\,dx + \int_{\frac12}^{1}(-1)\cos(n\pi x)\,dx $$ 逐项计算： 第一项： $$ \int_{-1}^{0}x\cos(n\pi x)\,dx = \left[ \frac{x\sin(n\pi x)}{n\pi}+\frac{\cos(n\pi x)}{n^2\pi^2} \right]_{-1}^{0} = \left(0+\frac{1}{n^2\pi^2}\right) - \left(0+\frac{\cos(-n\pi)}{n^2\pi^2}\right) = \frac{1-(-1)^n}{n^2\pi^2} $$ 第二项： $$ \int_{0}^{\frac12}\cos(n\pi x)\,dx = \left[\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}\right]_{0}^{\frac12} = \frac{\sin(\frac{n\pi}{2})}{n\pi} $$ 第三项： $$ \int_{\frac12}^{1}(-1)\cos(n\pi x)\,dx = -\left[\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}\right]_{\frac12}^{1} = -\frac{\sin(n\pi)-\sin(\frac{n\pi}{2})}{n\pi} = \frac{\sin(\frac{n\pi}{2})}{n\pi} $$ 因此： $$ a_n = \frac{1-(-1)^n}{n^2\pi^2} + \frac{2\sin(\frac{n\pi}{2})}{n\pi} $$
$$ b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin(n\pi x)\,dx = \int_{-1}^{0}x\sin(n\pi x)\,dx + \int_{0}^{\frac12}\sin(n\pi x)\,dx + \int_{\frac12}^{1}(-1)\sin(n\pi x)\,dx $$ 第一项： $$ \int_{-1}^{0}x\sin(n\pi x)\,dx = \left[ -\frac{x\cos(n\pi x)}{n\pi}+\frac{\sin(n\pi x)}{n^2\pi^2} \right]_{-1}^{0} = \left(0+0\right) - \left( -\frac{(-1)\cos(-n\pi)}{n\pi} + 0 \right) = -\frac{(-1)^n}{n\pi} $$ 第二项： $$ \int_{0}^{\frac12}\sin(n\pi x)\,dx = \left[-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\right]_{0}^{\frac12} = -\frac{\cos(\frac{n\pi}{2})}{n\pi} + \frac{1}{n\pi} $$ 第三项： $$ \int_{\frac12}^{1}(-1)\sin(n\pi x)\,dx = \left[\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\right]_{\frac12}^{1} = \frac{\cos(n\pi)}{n\pi} - \frac{\cos(\frac{n\pi}{2})}{n\pi} $$ 合并： $$ b_n = -\frac{(-1)^n}{n\pi} -\frac{\cos(\frac{n\pi}{2})}{n\pi}+\frac{1}{n\pi} + \frac{(-1)^n}{n\pi} - \frac{\cos(\frac{n\pi}{2})}{n\pi} = \frac{1}{n\pi} - \frac{2\cos(\frac{n\pi}{2})}{n\pi} $$ 因此傅里叶级数为： $$ f(x) \sim -\frac14 + \sum_{n=1}^{\infty}\left[ \left(\frac{1-(-1)^n}{n^2\pi^2}+\frac{2\sin(\frac{n\pi}{2})}{n\pi}\right)\cos(n\pi x) + \left(\frac{1}{n\pi}-\frac{2\cos(\frac{n\pi}{2})}{n\pi}\right)\sin(n\pi x) \right] $$
**（3）** 周期 $T=6$，半周期 $l=3$。 傅里叶级数形式： $$ f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{3}+b_n\sin\frac{n\pi x}{3}\right) $$ 计算： $$ a_0 = \frac{1}{3}\int_{-3}^{3}f(x)\,dx = \frac13\left( \int_{-3}^{0}(2x+1)\,dx + \int_{0}^{3}1\,dx \right) $$ $$ = \frac13\left( \left[x^2+x\right]_{-3}^{0} + \left[x\right]_{0}^{3} \right) = \frac13\left( (0-0) - (9-3) + 3 \right) = \frac13(-6+3) = -1 $$ 所以 $\frac{a_0}{2} = -\frac12$。
$$ a_n = \frac13\left( \int_{-3}^{0}(2x+1)\cos\frac{n\pi x}{3}\,dx + \int_{0}^{3}\cos\frac{n\pi x}{3}\,dx \right) $$ 先计算第一积分： $$ \int (2x+1)\cos(kx)\,dx,\quad k=\frac{n\pi}{3} $$ 分部积分： $$ \int (2x+1)\cos(kx)\,dx = \frac{2x+1}{k}\sin(kx) + \frac{2}{k^2}\cos(kx) $$ 代入上下限 $-3$ 到