📝 题目
2．利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{0.5} \frac{1}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x$（误差不超过 0.0001 ）； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{0.5} \frac{\arctan x}{x} \mathrm{~d} x$（误差不超过 0.001 ）．
💡 答案与解析
[AI解答]
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### （1）求 $\displaystyle{\int}_{0}^{0.5} \frac{1}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x$ 近似值（误差不超过 0.0001）
首先，利用幂级数展开： $$ \frac{1}{1+x^{4}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{4n}, \quad |x|<1 $$ 因此 $$ \int_{0}^{0.5} \frac{1}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x = \int_{0}^{0.5} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{4n} \mathrm{~d}x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_{0}^{0.5} x^{4n} \mathrm{~d}x $$ 计算积分： $$ \int_{0}^{0.5} x^{4n} \mathrm{~d}x = \left.\frac{x^{4n+1}}{4n+1}\right|_{0}^{0.5} = \frac{(0.5)^{4n+1}}{4n+1} $$ 所以 $$ I = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(0.5)^{4n+1}}{4n+1} $$
这是一个交错级数，误差不超过第一个被舍去项的绝对值。
逐项计算： - $n=0$: $\frac{0.5^{1}}{1} = 0.5$ - $n=1$: $-\frac{0.5^{5}}{5} = -\frac{0.03125}{5} = -0.00625$ - $n=2$: $\frac{0.5^{9}}{9} = \frac{0.001953125}{9} \approx 0.0002170$ - $n=3$: $-\frac{0.5^{13}}{13} = -\frac{0.0001220703125}{13} \approx -0.00000939$
此时第3项绝对值约为 $9.39\times 10^{-6} < 0.0001$，因此取前3项即可满足精度。
前3项和： $$ 0.5 - 0.00625 + 0.0002170 = 0.493967 $$ 四舍五入到小数点后四位： $$ \boxed{0.4940} $$
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### （2）求 $\displaystyle{\int}_{0}^{0.5} \frac{\arctan x}{x} \mathrm{~d} x$ 近似值（误差不超过 0.001）
已知 $\arctan x$ 的幂级数展开： $$ \arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x| \le 1 $$ 因此 $$ \frac{\arctan x}{x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{2n+1} $$ 逐项积分： $$ \int_{0}^{0.5} \frac{\arctan x}{x} \mathrm{~d}x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n+1} \int_{0}^{0.5} x^{2n} \mathrm{~d}x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n+1} \cdot \frac{(0.5)^{2n+1}}{2n+1} $$ 即 $$ I = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(0.5)^{2n+1}}{(2n+1)^2} $$
这也是交错级数，误差不超过第一个被舍去项的绝对值。
逐项计算： - $n=0$: $\frac{0.5^{1}}{1^2} = 0.5$ - $n=1$: $-\frac{0.5^{3}}{3^2} = -\frac{0.125}{9} \approx -0.0138889$ - $n=2$: $\frac{0.5^{5}}{5^2} = \frac{0.03125}{25} = 0.00125$ - $n=3$: $-\frac{0.5^{7}}{7^2} = -\frac{0.0078125}{49} \approx -0.0001594$
第3项绝对值约 $0.000159 < 0.001$，因此取前3项即可。
前3项和： $$ 0.5 - 0.0138889 + 0.00125 = 0.4873611 $$ 四舍五入到小数点后三位： $$ \boxed{0.487} $$
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难度评级：★★☆☆☆