📝 题目
2．将下列函数展开成 $x$ 的幂级数，并求展开式成立的区间： （1） $\operatorname{sh} x=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}$ ； （2） $\ln (a+x) \quad(a\gt 0)$ ； （3）$a^{x} \quad(a\gt 0$ 且 $a \neq 1)$ ； （4） $\sin ^{2} x$ ； （5）$(1+x) \ln (1+x)$ ； （6）$\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下为各小题的详细解答过程，均展开为 $x$ 的幂级数并注明收敛区间。
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### （1）$\operatorname{sh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
由指数函数的展开式： $$ e^x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!},\quad e^{-x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!} $$ 两式相减： $$ e^x - e^{-x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1-(-1)^n}{n!} x^n $$ 当 $n$ 为偶数时系数为 0，当 $n=2k+1$ 时系数为 $2$，故 $$ \operatorname{sh} x = \frac{1}{2} \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{(2k+1)!} x^{2k+1} = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} $$ 收敛区间为 $(-\infty, +\infty)$。
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### （2）$\ln(a+x),\quad a>0$
改写： $$ \ln(a+x) = \ln a + \ln\left(1+\frac{x}{a}\right) $$ 利用展开式： $$ \ln(1+t) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{t^n}{n},\quad |t|<1 $$ 令 $t = \frac{x}{a}$，得： $$ \ln(a+x) = \ln a + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n a^n} x^n $$ 收敛区间由 $\left|\frac{x}{a}\right|<1$ 得 $|x| --- ### （3）$a^x,\quad a>0,\ a\neq 1$ 利用指数函数： $$ a^x = e^{x \ln a} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln a)^n}{n!} x^n $$ 收敛区间为 $(-\infty, +\infty)$。 --- ### （4）$\sin^2 x$ 利用三角恒等式： $$ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $$ 已知： $$ \cos 2x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2x)^{2n}}{(2n)!} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n}}{(2n)!} x^{2n} $$ 因此： $$ \sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n}}{(2n)!} x^{2n} = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n-1}}{(2n)!} x^{2n} $$ 收敛区间为 $(-\infty, +\infty)$。 --- ### （5）$(1+x)\ln(1+x)$ 先展开 $\ln(1+x)$： $$ \ln(1+x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n,\quad |x|<1 $$ 乘以 $(1+x)$： $$ (1+x)\ln(1+x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n+1} $$ 调整第二项指标，令 $m=n+1$： $$ = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n + \displaystyle\sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^{m-2}}{m-1} x^m $$ 合并： - 当 $n=1$：系数为 $1$（第一项贡献 $x$） - 当 $n\ge 2$： $$ \frac{(-1)^{n-1}}{n} + \frac{(-1)^{n-2}}{n-1} = (-1)^{n-2}\left( -\frac{1}{n} + \frac{1}{n-1} \right) = \frac{(-1)^{n-2}}{n(n-1)} $$ 因此： $$ (1+x)\ln(1+x) = x + \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-2}}{n(n-1)} x^n $$ 收敛区间为 $(-1,1]$（在 $x=1$ 处收敛）。 --- ### （6）$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ 利用二项展开式： $$ (1+t)^{-\frac{1}{2}} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \binom{-\frac12}{n} t^n,\quad |t|<1 $$ 其中 $$ \binom{-\frac12}{n} = \frac{(-\frac12)(-\frac32)\cdots(-\frac{2n-1}{2})}{n!} = \frac{(-1)^n (2n-1)!!}{2^n n!} $$ 令 $t = x^2$，得： $$ \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2n-1)!!}{2^n n!} x^{2n} $$ 两边乘以 $x$： $$ \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2n-1)!!}{2^n n!} x^{2n+1} $$ 收敛区间为 $|x|<1$。 --- **难度评级**：★★★☆☆ （涉及多个函数的幂级数展开技巧，需熟悉基本展开式与代数变形，但计算不复杂。）