📝 题目
4．设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数，它在 $[-\pi, \pi)$ 上的表达式为
$$ f(x)= \begin{cases}-\frac{\pi}{2}, & -\pi \leqslant x\lt -\frac{\pi}{2} \\ x, & -\frac{\pi}{2} \leqslant x\lt \frac{\pi}{2} \\ \frac{\pi}{2}, & \frac{\pi}{2} \leqslant x\lt \pi\end{cases} $$
将 $f(x)$ 展开成傅里叶级数．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**第一步：判断函数奇偶性与展开形式** 观察 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi)$ 上的定义： - 当 $x \in [-\pi, -\pi/2)$ 时，$f(x) = -\pi/2$； - 当 $x \in [-\pi/2, \pi/2)$ 时，$f(x) = x$（奇函数部分）； - 当 $x \in [\pi/2, \pi)$ 时，$f(x) = \pi/2$。
容易验证 $f(-x) = -f(x)$ 在区间上成立，因此 $f(x)$ 是奇函数。 奇函数的傅里叶级数只有正弦项，即 $$ a_n = 0, \quad n = 0,1,2,\dots $$ 且 $$ b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx $$
**第二步：计算傅里叶系数 $b_n$** 由于 $f(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上的表达式为分段形式： $$ f(x) = \begin{cases} x, & 0 \le x < \frac{\pi}{2} \$$4pt] \frac{\pi}{2}, & \frac{\pi}{2} \le x < \pi \end{cases} $$ 因此 $$ b_n = \frac{2}{\pi} \left[ \int_{0}^{\pi/2} x \sin(nx) \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} \frac{\pi}{2} \sin(nx) \, dx \right] $$
**第三步：计算第一个积分** 使用分部积分： $$ \int x \sin(nx) \, dx = -\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2} $$ 所以 $$ \int_{0}^{\pi/2} x \sin(nx) \, dx = \left[ -\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2} \right]_{0}^{\pi/2} $$ 代入上下限： - 上限 $x = \pi/2$： $-\frac{\pi}{2n} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) + \frac{1}{n^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)$ - 下限 $x = 0$：$0 + 0 = 0$
所以 $$ I_1 = -\frac{\pi}{2n} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) + \frac{1}{n^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) $$
**第四步：计算第二个积分** $$ \int_{\pi/2}^{\pi} \frac{\pi}{2} \sin(nx) \, dx = \frac{\pi}{2} \cdot \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_{\pi/2}^{\pi} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{-\cos(n\pi) + \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n} $$ 即 $$ I_2 = \frac{\pi}{2n} \left[ -\cos(n\pi) + \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) \right] $$
**第五步：合并 $b_n$** $$ b_n = \frac{2}{\pi} (I_1 + I_2) = \frac{2}{\pi} \left[ -\frac{\pi}{2n} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) + \frac{1}{n^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2n} \left( -\cos(n\pi) + \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) \right) \right] $$ 注意 $-\frac{\pi}{2n} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)$ 与 $\frac{\pi}{2n} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)$ 抵消，于是 $$ b_n = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{1}{n^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2n} \cos(n\pi) \right] $$ 化简： $$ b_n = \frac{2}{\pi n^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) - \frac{1}{n} \cos(n\pi) $$
**第六步：写出傅里叶级数** 由于 $\cos(n\pi) = (-1)^n$，所以 $$ b_n = \frac{2}{\pi n^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) - \frac{(-1)^n}{n} $$ 因此 $f(x)$ 的傅里叶级数为 $$ f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{2}{\pi n^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) - \frac{(-1)^n}{n} \right] \sin(nx) $$
**第七步：简化正弦项** 注意到 $\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)$ 的取值规律： - 当 $n=2k$ 时，$\sin(k\pi)=0$； - 当 $n=2k-1$ 时，$\sin\left(\frac{(2k-1)\pi}{2}\right) = (-1)^{k-1}$。
因此可只对奇数项求和，令 $n=2k-1$，则 $$ b_{2k-1} = \frac{2}{\pi (2k-1)^2} (-1)^{k-1} - \frac{(-1)^{2k-1}}{2k-1} = \frac{2(-1)^{k-1}}{\pi (2k-1)^2} + \frac{1}{2k-1} $$ 因为 $(-1)^{2k-1} = -1$，所以 $-\frac{(-1)^n}{n} = -\frac{-1}{2k-1} = \frac{1}{2k-1}$。
**最终傅里叶级数展开式**： $$ \boxed{f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{1}{2k-1} + \frac{2(-1)^{k-1}}{\pi (2k-1)^2} \right] \sin\big((2k-1)x\big), \quad x \in \mathbb{R}} $$
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**难度评级**：★★★☆☆ （涉及奇偶性判断、分段积分、分部积分、三角级数化简，需细心处理符号与分段点）