📝 题目
7．设周期函数 $f(x)$ 的周期为 $2 \pi$ ．证明： （1）若 $f(x-\pi)=-f(x)$ ，则 $f(x)$ 的傅里叶系数 $a_{0}=0, a_{2 k}=0, b_{2 k}=0(k=1,2, \cdots)$ ； （2）若 $f(x-\pi)=f(x)$ ，则 $f(x)$ 的傅里叶系数 $a_{2 k+1}=0, b_{2 k+1}=0 \quad(k=0,1,2, \cdots)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**：设周期函数 $ f(x) $ 的周期为 $ 2\pi $，其傅里叶系数为： $$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx. $$
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### （1）若 $ f(x - \pi) = -f(x) $
首先，由周期为 $ 2\pi $ 可得： $$ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx. $$ 作变量代换 $ t = x - \pi $，则 $ x = t + \pi $，积分区间变为 $ -2\pi \le t \le 0 $，利用周期性： $$ \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = \int_{-2\pi}^{0} f(t + \pi) \, dt. $$ 由条件 $ f(t+\pi) = -f(t) $，得： $$ \int_{-2\pi}^{0} f(t+\pi) \, dt = -\int_{-2\pi}^{0} f(t) \, dt. $$ 又因为周期为 $ 2\pi $，有： $$ \int_{-2\pi}^{0} f(t) \, dt = \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \, dt. $$ 因此： $$ \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = -\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \quad \Rightarrow \quad 2\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = 0, $$ 故 $ a_0 = 0 $。
对于 $ n \ge 1 $，考虑 $ a_n $： $$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx. $$ 令 $ x = t + \pi $，则： $$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-2\pi}^{0} f(t+\pi) \cos(n(t+\pi)) \, dt. $$ 由条件 $ f(t+\pi) = -f(t) $，且 $ \cos(n(t+\pi)) = \cos(nt + n\pi) = (-1)^n \cos(nt) $，得： $$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-2\pi}^{0} \big[-f(t)\big] \cdot (-1)^n \cos(nt) \, dt = \frac{(-1)^{n+1}}{\pi} \int_{-2\pi}^{0} f(t) \cos(nt) \, dt. $$ 利用周期性，将积分区间平移回 $ [-\pi, \pi] $： $$ \int_{-2\pi}^{0} f(t) \cos(nt) \, dt = \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos(nt) \, dt = \pi a_n. $$ 因此： $$ a_n = (-1)^{n+1} a_n. $$ 若 $ n $ 为偶数，即 $ n = 2k $，则 $ (-1)^{n+1} = -1 $，得 $ a_{2k} = -a_{2k} \Rightarrow a_{2k} = 0 $。 若 $ n $ 为奇数，则等式恒成立，无额外约束。
同理，对 $ b_n $： $$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx, $$ 代换 $ x = t + \pi $ 得： $$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-2\pi}^{0} f(t+\pi) \sin(n(t+\pi)) \, dt. $$ 由于 $ \sin(n(t+\pi)) = \sin(nt + n\pi) = (-1)^n \sin(nt) $，且 $ f(t+\pi) = -f(t) $，得： $$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-2\pi}^{0} [-f(t)] \cdot (-1)^n \sin(nt) \, dt = \frac{(-1)^{n+1}}{\pi} \int_{-2\pi}^{0} f(t) \sin(nt) \, dt. $$ 周期性给出： $$ \int_{-2\pi}^{0} f(t) \sin(nt) \, dt = \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(nt) \, dt = \pi b_n, $$ 所以： $$ b_n = (-1)^{n+1} b_n. $$ 当 $ n $ 为偶数时，$ (-1)^{n+1} = -1 $，得 $ b_{2k} = 0 $。 因此结论（1）成立。
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### （2）若 $ f(x - \pi) = f(x) $
同样令 $ x = t + \pi $，则： $$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-2\pi}^{0} f(t+\pi) \cos(n(t+\pi)) \, dt. $$ 此时 $ f(t+\pi) = f(t) $，且 $ \cos(n(t+\pi)) = (-1)^n \cos(nt) $，得： $$ a_n = \frac{(-1)^n}{\pi} \int_{-2\pi}^{0} f(t) \cos(nt) \, dt = (-1)^n a_n. $$ 若 $ n $ 为奇数，即 $ n = 2k+1 $，则 $ (-1)^n = -1 $，得 $ a_{2k+1} = -a_{2k+1} \Rightarrow a_{2k+1} = 0 $。
同理，对于 $ b_n $： $$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-2\pi}^{0} f(t+\pi) \sin(n(t+\pi)) \, dt = \frac{(-1)^n}{\pi} \int_{-2\pi}^{0} f(t) \sin(nt) \, dt = (-1)^n b_n. $$ 当 $ n $ 为奇数时，$ (-1)^n = -1 $，得 $ b_{2k+1} = 0 $。
因此结论（2）成立。
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**难度评级**：★★★☆☆ （需要掌握傅里叶系数公式、变量代换、周期性及奇偶性推理，思路清晰但步骤较多）