📝 题目
2．设 $a, b, c$ 为单位向量，且满足 $a+b+c=0$ ，求 $a \cdot b+b \cdot c+c \cdot a$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知 $a, b, c$ 都是单位向量，即满足 $$ |a| = |b| = |c| = 1 $$ 并且有 $$ a + b + c = 0 $$
对等式两边同时作自身的点积： $$ (a + b + c) \cdot (a + b + c) = 0 \cdot 0 $$ 展开左边： $$ a \cdot a + b \cdot b + c \cdot c + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0 $$ 由于是单位向量，有 $$ a \cdot a = |a|^2 = 1,\quad b \cdot b = 1,\quad c \cdot c = 1 $$ 代入得： $$ 1 + 1 + 1 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0 $$ 即 $$ 3 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0 $$ 移项： $$ 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = -3 $$ 所以 $$ a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -\frac{3}{2} $$
因此，所求结果为 $$ \boxed{-\dfrac{3}{2}} $$
难度：★☆☆☆☆