第8章
8-1-1
📝 有解析
第8-1-1题
1．设 $u=a-b+2 c, v=-a+3 b-c$ ．试用 $a, b, c$ 表示 $2 u-3 v$ ．
8-1-10
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第8-1-10题
10．过点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 分别作平行于 $z$ 轴的直线和平行于 $x O y$ 面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？
8-1-11
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第8-1-11题
11．一棱长为 $a$ 的立方体放置在 $x O y$ 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在 $x$ 轴和 $y$轴上，求它各顶点的坐标．
8-1-12
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第8-1-12题
12．求点 $M(4,-3,5)$ 到各坐标轴的距离．
8-1-13
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第8-1-13题
13．在 $y O z$ 面上，求与三点 $A(3,1,2), B(4,-2,-2)$ 和 $C(0,5,1)$ 等距离的点．
8-1-14
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第8-1-14题
14．试证明以 $A(4,1,9), B(10,-1,6), C(2,4,3)$ 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形．
8-1-15
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第8-1-15题
15．设已知两点 $M_{1}(4, \sqrt{2}, 1)$ 和 $M_{2}(3,0,2)$ ，计算向量 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}$ 的模、方向余弦和方向角．
8-1-16
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第8-1-16题
16．设向量的方向余弦分别满足（1） $\cos \alpha=0$ ；（2） $\cos \beta=1$ ；（3） $\cos \alpha=\cos \beta=0$ ，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？
8-1-17
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第8-1-17题
17．设向量 $r$ 的模是 4 ，它与 $u$ 轴的夹角是 $\frac{\pi}{3}$ ，求 $r$ 在 $u$ 轴上的投影．
8-1-18
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第8-1-18题
18．一向量的终点在点 $B(2,-1,7)$ ，它在 $x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴上的投影依次为 $4,-4$ 和 7 ．求这向量的起点 $A$ 的坐标．
8-1-19
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第8-1-19题
19．设 $m=3 i+5 j+8 k, n=2 i-4 j-7 k$ 和 $p=5 i+j-4 k$ ，求向量 $a=4 m+3 n-p$ 在 $x$ 轴上的投影及在 $y$ 轴上的分向量．
8-1-2
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第8-1-2题
2．如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形．
8-1-20
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第8-1-20题
20．设 $O$ 是 $A, B$ 的连线以外的一点，证明 $A, B, C$ 三点共线的充分必要条件是 $\overrightarrow{O C}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B}$ ，其中 $\lambda+\mu=1$ ．
8-1-3
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第8-1-3题
3．把 $\triangle A B C$ 的 $B C$ 边五等分，设分点依次为 $D_{1}, D_{2}, D_{3}, D_{4}$ ，再把各分点与点 $A$ 连接．试以 $\overrightarrow{A B}=c$ ， $\overrightarrow{B C}=a$ 表示向量 $\overrightarrow{D_{1} A}, \overrightarrow{D_{2} A}, \overrightarrow{D_{3} A}$ 和 $\overrightarrow{D_{4} A}$ ．
8-1-4
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第8-1-4题
4．已知两点 $M_{1}(0,1,2)$ 和 $M_{2}(1,-1,0)$ ．试用坐标表示式表示向量 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}$ 及 $-2 \overrightarrow{M_{1} M_{2}}$ ．
8-1-5
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第8-1-5题
5．求平行于向量 $a=(6,7,-6)$ 的单位向量．
8-1-6
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第8-1-6题
6．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
$$
A(1,-2,3), \quad B(2,3,-4), \quad C(2,-3,-4), \quad D(-2,-3,1) .
$$
8-1-7
📝 有解析
第8-1-7题
7．在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：
$$
A(3,4,0), \quad B(0,4,3), \quad C(3,0,0), \quad D(0,-1,0) .
$$
8-1-8
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第8-1-8题
8．求点 $(a, b, c)$ 关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标．
8-1-9
📝 有解析
第8-1-9题
9．自点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标．
8-2-1
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第8-2-1题
1．设 $a=3 i-j-2 k, b=i+2 j-k$ ，求
（1） $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 及 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ ；
（2）$(-2 a) \cdot 3 b$ 及 $a \times 2 b$ ；
（3） $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的夹角的余弦．
8-2-10
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第8-2-10题
10．设一平行四边形对角线为 $c=a+2 b, d=3 a-4 b$ ，其中 $a, b$为单位向量且 $a \perp b$ ，求该平行四边形的面积．
8-2-11
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第8-2-11题
11．设有四面体 $O P Q R$（图8－28），其中 $\triangle O P Q, \triangle O Q R$ ， $\triangle O P R$ 和 $\triangle P Q R$ 的面积分别为 $A, B, C$ 和 $D$ ．试用向量方法证明如下三维空间中的勾股定理：
$$
A^{2}+B^{2}+C^{2}=D^{2} .
$$
8-2-13
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第8-2-13题
13．试用向量证明不等式：
$$
\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}} \geqslant\left|a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}\right|
$$
其中 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 为任意实数，并指出等号成立的条件．
8-2-2
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第8-2-2题
2．设 $a, b, c$ 为单位向量，且满足 $a+b+c=0$ ，求 $a \cdot b+b \cdot c+c \cdot a$ ．
8-2-3
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第8-2-3题
3．已知 $M_{1}(1,-1,2), M_{2}(3,3,1)$ 和 $M_{3}(3,1,3)$ ．求与 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}, \overrightarrow{M_{2} M_{3}}$ 同时垂直的单位向量．
8-2-4
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第8-2-4题
4．设质量为 100 kg 的物体从点 $M_{1}(3,1,8)$ 沿直线移动到点 $M_{2}(1,4,2)$ ，计算重力所做的功（坐标系长度单位为 m ，重力方向为 $z$ 轴负方向）．
8-2-5
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第8-2-5题
5．在杜杆上支点 $O$ 的一侧与点 $O$ 的距离为 $x_{1}$ 的点 $P_{1}$ 处，作用着一个与 $\overrightarrow{O P_{1}}$ 成角 $\theta_{1}$ 的力 $F_{1}$ ；在 $O$ 的另一侧与点 $O$ 的距离为 $x_{2}$ 的点 $P_{2}$ 处，作用着一个与 $\overrightarrow{O P_{2}}$成角 $\theta_{2}$ 的力 $F_{2}$（图8－27）。问 $\theta_{1}, \theta_{2}, x_{1}, x_{2},\left|F_{1}\right|$ ，
<img src="/static/img/textbook/ce52221b4dd3.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
$\left|\boldsymbol{F}_{2}\right|$ 符合怎样的条件才能使杜杆保持平衡？
8-2-6
📝 有解析
第8-2-6题
6．求向量 $\boldsymbol{a}=(4,-3,4)$ 在向量 $\boldsymbol{b}=(2,2,1)$ 上的投影．
8-2-7
📝 有解析
第8-2-7题
7．设 $\boldsymbol{a}=(3,5,-2), \boldsymbol{b}=(2,1,4)$ ，问 $\lambda$ 与 $\mu$ 有怎样的关系，能使得 $\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}$ 与 $z$ 轴垂直？
8-2-8
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第8-2-8题
8．试用向量证明直径所对的圆周角是直角．
8-2-9
📝 有解析
第8-2-9题
9．已知向量 $a=2 i-3 j+k, b=i-j+3 k$ 和 $c=i-2 j$ ，计算：
（1）$(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c}-(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b}$ ；
（2）$(a+b) \times(b+c)$ ；
（3）$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}$ ．
8-2-*12
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第8-2-*12题
＊12．已知 $\boldsymbol{a}=\left(a_{x}, a_{y}, a_{z}\right), \boldsymbol{b}=\left(b_{x}, b_{y}, b_{z}\right), \boldsymbol{c}=\left(c_{x}, c_{y}, c_{z}\right)$ ，试利用行列式的性质证明：
$$
(a \times b) \cdot c=(b \times c) \cdot a=(c \times a) \cdot b .
$$
<img src="/static/img/textbook/c977a0a30f33.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
8-3-1
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第8-3-1题
1．求过点 $(3,0,-1)$ 且与平面 $3 x-7 y+5 z-12=0$ 平行的平面方程．
8-3-2
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第8-3-2题
2．求过点 $M_{0}(2,9,-6)$ 且与连接坐标原点及点 $M_{0}$ 的线段 $O M_{0}$ 垂直的平面方程．
8-3-3
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第8-3-3题
3．求过 $M_{1}(1,1,-1), M_{2}(-2,-2,2)$ 和 $M_{3}(1,-1,2)$ 三点的平面方程．
8-3-4
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第8-3-4题
4．指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：
（1）$x=0$ ；
（2） $3 y-1=0$ ；
（3） $2 x-3 y-6=0$ ；
（4）$x-\sqrt{3} y=0$ ；
（5）$y+z=1$ ；
（6）$x-2 z=0$ ；
（7） $6 x+5 y-z=0$ ．
8-3-5
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第8-3-5题
5．求平面 $2 x-2 y+z+5=0$ 与各坐标面的夹角的余弦．
8-3-6
📝 有解析
第8-3-6题
6．设一平面过点 $M_{0}(1,2,-1)$ 且垂直于平面 $3 x-4 y+z+16=0$ 和 $4 x-z+6=0$ ，试求这平面方程．
8-3-7
📝 有解析
第8-3-7题
7．求三平面 $x+3 y+z=1,2 x-y-z=0,-x+2 y+2 z=3$ 的交点．
8-3-8
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第8-3-8题
8．分别按下列条件求平面方程：
（1）平行于 $z O x$ 面且经过点 $(2,-5,3)$ ；
（2）通过 $z$ 轴和点 $(-3,1,-2)$ ；
（3）平行于 $x$ 轴且经过两点 $(4,0,-2)$ 和 $(5,1,7)$ ．
8-3-9
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第8-3-9题
9．求点 $(1,2,1)$ 到平面 $x+2 y+2 z-10=0$ 的距离．
8-4-1
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第8-4-1题
1．求过点 $(4,-1,3)$ 且平行于直线 $\frac{x-3}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{5}$ 的直线方程．
8-4-10
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第8-4-10题
10．试确定下列各组中的直线和平面间的关系：
（1）$\frac{x+3}{-2}=\frac{y+4}{-7}=\frac{z}{3}$ 和 $4 x-2 y-2 z=3$ ；
（2）$\frac{x}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{7}$ 和 $3 x-2 y+7 z=8$ ；
（3）$\frac{x-2}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-4}$ 和 $x+y+z=3$ ．
8-4-11
📝 有解析
第8-4-11题
11．求过点 $(1,2,1)$ 且与两直线 $\left\{\begin{array}{l}x+2 y-z+1=0, \\ x-y+z-1=0\end{array}\right.$ 和 $\left\{\begin{array}{l}2 x-y+z=0, \\ x-y+z=0\end{array}\right.$ 都平行的平面的方程．
8-4-12
📝 有解析
第8-4-12题
12．求点 $(-1,2,0)$ 在平面 $x+2 y-z+1=0$ 上的投影．
8-4-13
📝 有解析
第8-4-13题
13．求点 $P(3,-1,2)$ 到直线 $\left\{\begin{array}{l}x+y-z+1=0, \\ 2 x-y+z-4=0\end{array}\right.$ 的距离．
8-4-14
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第8-4-14题
14．设 $M_{0}$ 是直线 $L$ 外一点，$M$ 是直线 $L$ 上任意一点，且直线的方向向量为 $s$ ，试证：点 $M_{0}$ 到直线 $L$ 的距离
$$
d=\frac{\left|\overrightarrow{M_{0} M} \times s\right|}{|s|} .
$$
8-4-15
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第8-4-15题
15．求直线 $\left\{\begin{array}{l}2 x-4 y+z=0, \\ 3 x-y-2 z-9=0\end{array}\right.$ 在平面 $4 x-y+z=1$ 上的投影直线的方程．
8-4-16
📝 有解析
第8-4-16题
16．画出下列各平面所围成的立体的图形：
（1）$x=0, y=0, z=0, x=2, y=1,3 x+4 y+2 z-12=0$ ；
（2）$x=0, z=0, x=1, y=2, z=\frac{y}{4}$ ．
8-4-2
📝 有解析
第8-4-2题
2．求过两点 $M_{1}(3,-2,1)$ 和 $M_{2}(-1,0,2)$ 的直线方程．
8-4-3
📝 有解析
第8-4-3题
3．用对称式方程及参数方程表示直线 $\left\{\begin{array}{l}x-y+z=1, \\ 2 x+y+z=4 .\end{array}\right.$
8-4-4
📝 有解析
第8-4-4题
4．求过点 $(2,0,-3)$ 且与直线 $\left\{\begin{array}{l}x-2 y+4 z-7=0, \\ 3 x+5 y-2 z+1=0\end{array}\right.$ 垂直的平面方程．
8-4-5
📝 有解析
第8-4-5题
5．求直线 $\left\{\begin{array}{l}5 x-3 y+3 z-9=0, \\ 3 x-2 y+z-1=0\end{array}\right.$ 与直线 $\left\{\begin{array}{l}2 x+2 y-z+23=0, \\ 3 x+8 y+z-18=0\end{array}\right.$ 的夹角的余弦．
8-4-6
📝 有解析
第8-4-6题
6．证明直线 $\left\{\begin{array}{l}x+2 y-z=7, \\ -2 x+y+z=7\end{array}\right.$ 与直线 $\left\{\begin{array}{l}3 x+6 y-3 z=8, \\ 2 x-y-z=0\end{array}\right.$ 平行．
8-4-7
📝 有解析
第8-4-7题
7．求过点 $(1,0,-2)$ 且与平面 $3 x+4 y-z+6=0$ 平行，又与直线 $\frac{x-3}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z}{1}$ 垂直的直线方程．
8-4-8
📝 有解析
第8-4-8题
8．求过点 $(3,1,-2)$ 且通过直线 $\frac{x-4}{5}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{1}$ 的平面方程．
8-4-9
📝 有解析
第8-4-9题
9．求直线 $\left\{\begin{array}{l}x+y+3 z=0, \\ x-y-z=0\end{array}\right.$ 与平面 $x-y-z+1=0$ 的夹角．
8-5-1
📝 有解析
第8-5-1题
1．一球面过原点及 $A(4,0,0), B(1,3,0)$ 和 $C(0,0,-4)$ 三点，求球面的方程及球心的坐标和半径．
8-5-10
📝 有解析
第8-5-10题
10．说明下列旋转曲面是怎样形成的：
（1）$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{9}=1$ ；
（2）$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1$ ；
（3）$x^{2}-y^{2}-z^{2}=1$ ；
（4）$(z-a)^{2}=x^{2}+y^{2}$ ．
8-5-11
📝 有解析
第8-5-11题
11．画出下列方程所表示的曲面：
（1） $4 x^{2}+y^{2}-z^{2}=4$ ；
（2）$x^{2}-y^{2}-4 z^{2}=4$ ；
（3）$\frac{z}{3}=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}$ ．
8-5-12
📝 有解析
第8-5-12题
12．画出下列各曲面所围立体的图形：
（1）$z=0, z=3, x-y=0, x-\sqrt{3} y=0, x^{2}+y^{2}=1$（在第 I 卦限内）；
（2）$x=0, y=0, z=0, x^{2}+y^{2}=R^{2}, y^{2}+z^{2}=R^{2}$（在第 I 卦限内）．
8-5-2
📝 有解析
第8-5-2题
2．已知一球面的球心在点 $P_{0}(3,-5,2)$ 且与平面 $\Pi: 2 x-y+3 z+9=0$ 相切，求该球面方程．
8-5-3
📝 有解析
第8-5-3题
3．方程 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y+2 z=0$ 表示什么曲面？
8-5-4
📝 有解析
第8-5-4题
4．求与坐标原点 $O$ 及点 $(2,3,4)$ 的距离之比为 $1: 2$ 的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？
8-5-5
📝 有解析
第8-5-5题
5．将 $z O x$ 坐标面上的抛物线 $z^{2}=5 x$ 绕 $x$ 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．
8-5-6
📝 有解析
第8-5-6题
6．将 $z O x$ 坐标面上的圆 $x^{2}+z^{2}=9$ 绕 $z$ 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．
8-5-7
📝 有解析
第8-5-7题
7．将 $x O y$ 坐标面上的双曲线 $4 x^{2}-9 y^{2}=36$ 分别绕 $x$ 轴及 $y$ 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．
8-5-8
📝 有解析
第8-5-8题
8．画出下列各方程所表示的曲面：
（1）$\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}$ ；
（2）$-\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ ；
（3）$\frac{x^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{4}=1$ ；
（4）$y^{2}-z=0$ ；
（5）$z=2-x^{2}$ ．
8-5-9
📝 有解析
第8-5-9题
9．指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形：
（1）$x=2$ ；
（2）$y=x+1$ ；
（3）$x^{2}+y^{2}=4$ ；
（4）$x^{2}-y^{2}=1$ ．
8-6-1
📝 有解析
第8-6-1题
1．画出下列曲线在第 I 卦限内的图形：
（1）$\left\{\begin{array}{l}x=1, \\ y=2 ;\end{array}\right.$
（2）$\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}, \\ x-y=0 ;\end{array}\right.$
（3）$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=a^{2}, \\ x^{2}+z^{2}=a^{2} .\end{array}\right.$
8-6-2
📝 有解析
第8-6-2题
2．指出下列方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形：
（1）$\left\{\begin{array}{l}y=5 x+1, \\ y=2 x-3 ;\end{array}\right.$
（2）$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1, \\ y=3 .\end{array}\right.$
8-6-3
📝 有解析
第8-6-3题
3．分别求母线平行于 $x$ 轴及 $y$ 轴而且通过曲线 $\left\{\begin{array}{l}2 x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 \\ x^{2}+z^{2}-y^{2}=0\end{array}\right.$ 的柱面方程．
8-6-4
📝 有解析
第8-6-4题
4．求下列两曲面的交线在 $x O y$ 面上的投影的方程：
（1）球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ 与平面 $x+z=1$ ；
（2）椭球面 $x^{2}+y^{2}+4 z^{2}=1$ 与圆锥面 $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ ．
8-6-5
📝 有解析
第8-6-5题
5．将下列曲线的一般方程化为参数方程：
（1）$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, \\ y=x ;\end{array}\right.$
（2）$\left\{\begin{array}{l}(x-1)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=4, \\ z=0 .\end{array}\right.$
8-6-6
📝 有解析
第8-6-6题
6．求螺旋线 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos \theta, \\ y=a \sin \theta, \text { 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程．} \\ z=b \theta\end{array}\right.$
8-6-7
📝 有解析
第8-6-7题
7．求上半球 $0 \leqslant z \leqslant \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 与圆柱体 $x^{2}+y^{2} \leqslant a x(a\gt 0)$ 的公共部分在 $x O y$ 面和 $z O x$ 面上的投影。
8-6-8
📝 有解析
第8-6-8题
8．求旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}(0 \leqslant z \leqslant 4)$ 在三坐标面上的投影．