📝 题目
12．求点 $(-1,2,0)$ 在平面 $x+2 y-z+1=0$ 上的投影．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求点 $P(-1,2,0)$ 在平面 $$ x + 2y - z + 1 = 0 $$ 上的投影点 $P'$。 平面的法向量为 $$ \vec{n} = (1, 2, -1). $$ 过点 $P$ 且垂直于平面的直线参数方程为： $$ \begin{cases} x = -1 + t, \\ y = 2 + 2t, \\ z = 0 - t. \end{cases} $$ 将此代入平面方程： $$ (-1 + t) + 2(2 + 2t) - (-t) + 1 = 0. $$ 化简： $$ -1 + t + 4 + 4t + t + 1 = 0, $$ $$ ( -1 + 4 + 1) + (t + 4t + t) = 4 + 6t = 0, $$ 解得 $$ t = -\frac{2}{3}. $$ 代回参数方程得投影点坐标： $$ x = -1 - \frac{2}{3} = -\frac{5}{3},\quad y = 2 + 2\left(-\frac{2}{3}\right) = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3},\quad z = 0 - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3}. $$ 因此投影点为 $$ \boxed{\left(-\frac{5}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{2}{3}\right)}. $$
难度：★☆☆☆☆