第8章 · 第8-4-11题

[AI解答]

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**第一步：求第一条直线的方向向量**

第一条直线由方程组给出： $$ \begin{cases} x + 2y - z + 1 = 0, \\ x - y + z - 1 = 0. \end{cases} $$ 两平面的法向量分别为： $$ \mathbf{n}_1 = (1, 2, -1), \quad \mathbf{n}_2 = (1, -1, 1). $$ 直线的方向向量 $\mathbf{s}_1$ 垂直于这两个法向量，因此取它们的叉积： $$ \mathbf{s}_1 = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2\cdot 1 - (-1)(-1)) - \mathbf{j}(1\cdot 1 - (-1)\cdot 1) + \mathbf{k}(1\cdot(-1) - 2\cdot 1). $$ 计算： $$ = \mathbf{i}(2 - 1) - \mathbf{j}(1 + 1) + \mathbf{k}(-1 - 2) = (1, -2, -3). $$ 所以 $\mathbf{s}_1 = (1, -2, -3)$。

**第二步：求第二条直线的方向向量**

第二条直线： $$ \begin{cases} 2x - y + z = 0, \\ x - y + z = 0. \end{cases} $$ 法向量为： $$ \mathbf{n}_3 = (2, -1, 1), \quad \mathbf{n}_4 = (1, -1, 1). $$ 方向向量 $\mathbf{s}_2$： $$ \mathbf{s}_2 = \mathbf{n}_3 \times \mathbf{n}_4 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)\cdot 1 - 1\cdot(-1)) - \mathbf{j}(2\cdot 1 - 1\cdot 1) + \mathbf{k}(2\cdot(-1) - (-1)\cdot 1). $$ 计算： $$ = \mathbf{i}(-1 + 1) - \mathbf{j}(2 - 1) + \mathbf{k}(-2 + 1) = (0, -1, -1). $$ 所以 $\mathbf{s}_2 = (0, -1, -1)$。

**第三步：求所求平面的法向量**

所求平面与两条直线都平行，因此它的法向量 $\mathbf{n}$ 垂直于 $\mathbf{s}_1$ 和 $\mathbf{s}_2$，取叉积： $$ \mathbf{n} = \mathbf{s}_1 \times \mathbf{s}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & -3 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(-1) - (-3)(-1)) - \mathbf{j}(1\cdot(-1) - (-3)\cdot 0) + \mathbf{k}(1\cdot(-1) - (-2)\cdot 0). $$ 计算： $$ = \mathbf{i}(2 - 3) - \mathbf{j}(-1 - 0) + \mathbf{k}(-1 - 0) = (-1, 1, -1). $$ 可以取法向量为 $(1, -1, 1)$（乘以 $-1$ 不影响平面方程）。

**第四步：写出平面方程**

平面过点 $(1,2,1)$，法向量 $(1,-1,1)$，方程为： $$ 1(x - 1) - 1(y - 2) + 1(z - 1) = 0. $$ 化简： $$ x - 1 - y + 2 + z - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x - y + z = 0. $$

**最终答案：** $$ \boxed{x - y + z = 0} $$