📝 题目
13．求点 $P(3,-1,2)$ 到直线 $\left\{\begin{array}{l}x+y-z+1=0, \\ 2 x-y+z-4=0\end{array}\right.$ 的距离．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**第一步：确定直线的方向向量** 直线由两个平面方程的交线给出，其方向向量 $\vec{s}$ 垂直于两个平面的法向量。 平面1的法向量：$\vec{n}_1 = (1, 1, -1)$ 平面2的法向量：$\vec{n}_2 = (2, -1, 1)$ 方向向量为： $$ \vec{s} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot1 - (-1)(-1)) - \mathbf{j}(1\cdot1 - (-1)\cdot2) + \mathbf{k}(1\cdot(-1) - 1\cdot2) $$ 计算： $$ = \mathbf{i}(1 - 1) - \mathbf{j}(1 + 2) + \mathbf{k}(-1 - 2) = (0, -3, -3) $$ 可简化为 $\vec{s} = (0, 1, 1)$（方向不变）。
**第二步：在直线上取一点 $M_0$** 令 $x = 0$，代入直线方程： $$ \begin{cases} 0 + y - z + 1 = 0 \\ 0 - y + z - 4 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y - z = -1 \\ -y + z = 4 \end{cases} $$ 两式相加得 $0 = 3$，矛盾，说明 $x=0$ 不在直线上。 令 $z = 0$，则： $$ \begin{cases} x + y + 1 = 0 \\ 2x - y - 4 = 0 \end{cases} $$ 相加得 $3x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1$，代入得 $1 + y + 1 = 0 \Rightarrow y = -2$。 所以取点 $M_0(1, -2, 0)$。
**第三步：计算向量 $\overrightarrow{M_0P}$** $$ \overrightarrow{M_0P} = (3-1,\ -1+2,\ 2-0) = (2, 1, 2) $$
**第四步：利用点到直线的距离公式** 距离公式： $$ d = \frac{|\overrightarrow{M_0P} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|} $$ 先计算叉积： $$ \overrightarrow{M_0P} \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot1 - 2\cdot1) - \mathbf{j}(2\cdot1 - 2\cdot0) + \mathbf{k}(2\cdot1 - 1\cdot0) $$ $$ = \mathbf{i}(1 - 2) - \mathbf{j}(2 - 0) + \mathbf{k}(2 - 0) = (-1, -2, 2) $$ 其模长： $$ |\overrightarrow{M_0P} \times \vec{s}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 $$ 方向向量模长： $$ |\vec{s}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$
**第五步：计算距离** $$ d = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} $$
因此，点 $P$ 到直线的距离为 $\boxed{\dfrac{3\sqrt{2}}{2}}$。