📝 题目
1．画出下列曲线在第 I 卦限内的图形： （1）$\left\{\begin{array}{l}x=1, \\ y=2 ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}, \\ x-y=0 ;\end{array}\right.$ （3）$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=a^{2}, \\ x^{2}+z^{2}=a^{2} .\end{array}\right.$
💡 答案与解析
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**习题8-6 第1题** 题目要求画出各曲线在第 I 卦限内的图形。第 I 卦限指 $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$ 的区域。
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### （1） 方程组为 $$ \left\{\begin{array}{l} x=1, \\ y=2 ; \end{array}\right. $$ 这里 $x$ 和 $y$ 固定，$z$ 自由。因此它表示一条平行于 $z$ 轴的直线，过点 $(1,2,0)$。 在第 I 卦限内，$z \ge 0$，所以图形是从点 $(1,2,0)$ 出发向上延伸的射线。
**图形描述**：一条垂直于 $xy$ 平面的竖直线段（射线），起点在 $(1,2,0)$，沿 $z$ 轴正向。
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### （2） 方程组为 $$ \left\{\begin{array}{l} z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}, \\ x-y=0 . \end{array}\right. $$ 第一个方程是上半球面 $x^2+y^2+z^2=4$（$z\ge 0$），第二个方程是平面 $x=y$。 它们的交线是球面上的一个大圆弧（半圆）。 在第 I 卦限内，$x\ge0,y\ge0,z\ge0$，且 $x=y$，所以交线满足 $$ 2x^2+z^2=4,\quad x\ge0,\;z\ge0. $$ 即 $$ \frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{4}=1,\quad x\ge0,z\ge0. $$ 这是 $xz$ 平面内的一个椭圆弧（实际是半椭圆），但注意这里 $x=y$，所以曲线在空间中是位于平面 $x=y$ 上的半椭圆弧。
**图形描述**：在平面 $x=y$ 上，从点 $(\sqrt{2},\sqrt{2},0)$ 到点 $(0,0,2)$ 的一条弧线，位于第 I 卦限。
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### （3） 方程组为 $$ \left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}=a^{2}, \\ x^{2}+z^{2}=a^{2} . \end{array}\right. $$ 第一个是圆柱面，第二个也是圆柱面，两者轴线分别平行于 $z$ 轴和 $y$ 轴。它们的交线是空间曲线。 两式相减得 $y^2 = z^2$，即 $y = \pm z$。在第 I 卦限，$y\ge0,z\ge0$，所以 $y=z$。 代入第一个方程得 $x^2+y^2=a^2$，且 $y=z\ge0$。 因此曲线是圆柱面 $x^2+y^2=a^2$ 与平面 $y=z$ 的交线，即一个椭圆（实际是圆）的一部分。 在第 I 卦限，$x\ge0,y\ge0,z\ge0$，所以曲线是从 $(a,0,0)$ 到 $(0,a,a)$ 的一段空间曲线，参数形式为 $$ x = a\cos t,\quad y = a\sin t,\quad z = a\sin t,\quad t\in[0,\frac{\pi}{2}]. $$
**图形描述**：位于第 I 卦限的一段空间曲线，起点 $(a,0,0)$，终点 $(0,a,a)$，形状为四分之一圆弧在空间中的拉伸。
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**总结**： (1) 竖直线（射线）； (2) 平面 $x=y$ 上的半椭圆弧； (3) 两圆柱交线在第 I 卦限的一段空间曲线。