📝 题目
8．求过点 $(3,1,-2)$ 且通过直线 $\frac{x-4}{5}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{1}$ 的平面方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**题目**：求过点 $(3,1,-2)$ 且通过直线 $\frac{x-4}{5}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{1}$ 的平面方程。
**解**：
1. **确定直线的方向向量和一个已知点** 直线的对称式方程为 $$ \frac{x-4}{5}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{1} $$ 因此直线的方向向量为 $$ \vec{s} = (5, 2, 1) $$ 并且直线上有一个已知点 $A(4, -3, 0)$。
2. **确定平面上两个不共线的向量** 已知平面过点 $P(3, 1, -2)$ 和直线，因此直线上的点 $A(4, -3, 0)$ 也在平面上。 向量 $\overrightarrow{PA}$ 为 $$ \overrightarrow{PA} = (4-3,\ -3-1,\ 0-(-2)) = (1, -4, 2) $$ 另一个向量取直线的方向向量 $\vec{s} = (5, 2, 1)$。 这两个向量不平行（因为对应分量不成比例），可作为平面上的两个方向向量。
3. **求平面的法向量** 法向量 $\vec{n}$ 为 $\overrightarrow{PA}$ 与 $\vec{s}$ 的叉积： $$ \vec{n} = \overrightarrow{PA} \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -4 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix} $$ 计算： $$ \vec{n} = \mathbf{i}((-4)\cdot 1 - 2\cdot 2) - \mathbf{j}(1\cdot 1 - 2\cdot 5) + \mathbf{k}(1\cdot 2 - (-4)\cdot 5) $$ $$ = \mathbf{i}(-4 - 4) - \mathbf{j}(1 - 10) + \mathbf{k}(2 + 20) $$ $$ = (-8, 9, 22) $$
4. **写出平面方程** 平面过点 $P(3,1,-2)$，法向量为 $(-8, 9, 22)$，则平面方程为 $$ -8(x - 3) + 9(y - 1) + 22(z + 2) = 0 $$ 化简： $$ -8x + 24 + 9y - 9 + 22z + 44 = 0 $$ $$ -8x + 9y + 22z + 59 = 0 $$ 两边乘以 $-1$ 得： $$ 8x - 9y - 22z - 59 = 0 $$
**最终答案**： $$ \boxed{8x - 9y - 22z - 59 = 0} $$