📝 题目
7．求过点 $(1,0,-2)$ 且与平面 $3 x+4 y-z+6=0$ 平行，又与直线 $\frac{x-3}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z}{1}$ 垂直的直线方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**第一步：确定所求直线的方向向量** 设所求直线的方向向量为 $\vec{s} = (a, b, c)$。
已知所求直线与平面 $3x + 4y - z + 6 = 0$ 平行，因此方向向量垂直于该平面的法向量 $\vec{n} = (3, 4, -1)$，即 $$ \vec{s} \cdot \vec{n} = 0 \quad\Rightarrow\quad 3a + 4b - c = 0. \tag{1} $$
又已知所求直线与直线 $$ \frac{x-3}{1} = \frac{y+2}{4} = \frac{z}{1} $$ 垂直，因此方向向量垂直于该直线的方向向量 $\vec{m} = (1, 4, 1)$，即 $$ \vec{s} \cdot \vec{m} = 0 \quad\Rightarrow\quad a + 4b + c = 0. \tag{2} $$
**第二步：解方程组求方向向量** 联立 (1) 和 (2)： $$ \begin{cases} 3a + 4b - c = 0, \\ a + 4b + c = 0. \end{cases} $$ 两式相加得： $$ 4a + 8b = 0 \quad\Rightarrow\quad a = -2b. $$ 代入第二个方程： $$ -2b + 4b + c = 0 \quad\Rightarrow\quad 2b + c = 0 \quad\Rightarrow\quad c = -2b. $$ 取 $b = 1$，则 $a = -2$，$c = -2$，所以方向向量为 $$ \vec{s} = (-2, 1, -2). $$
**第三步：写出直线方程** 所求直线过点 $(1, 0, -2)$，方向向量为 $(-2, 1, -2)$，因此对称式方程为： $$ \frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z + 2}{-2}. $$
**最终答案**： $$ \boxed{\frac{x-1}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{-2}} $$