📝 题目
6．证明直线 $\left\{\begin{array}{l}x+2 y-z=7, \\ -2 x+y+z=7\end{array}\right.$ 与直线 $\left\{\begin{array}{l}3 x+6 y-3 z=8, \\ 2 x-y-z=0\end{array}\right.$ 平行．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**题目**：证明直线 $$ L_1:\begin{cases} x+2y-z=7,\\ -2x+y+z=7 \end{cases} \quad\text{与}\quad L_2:\begin{cases} 3x+6y-3z=8,\\ 2x-y-z=0 \end{cases} $$ 平行。
**证明步骤**：
1. **求直线方向向量的方法** 直线由两个平面方程的交线给出，其方向向量垂直于两个平面的法向量，因此方向向量可取为两法向量的叉积。
2. **求 $L_1$ 的方向向量** 平面法向量分别为 $$ \vec{n}_{11}=(1,2,-1),\quad \vec{n}_{12}=(-2,1,1) $$ 方向向量 $$ \vec{s}_1 = \vec{n}_{11} \times \vec{n}_{12} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} $$ 计算： $$ \vec{s}_1 = \mathbf{i}(2\cdot1 - (-1)\cdot1) - \mathbf{j}(1\cdot1 - (-1)\cdot(-2)) + \mathbf{k}(1\cdot1 - 2\cdot(-2)) $$ $$ = \mathbf{i}(2+1) - \mathbf{j}(1-2) + \mathbf{k}(1+4) = (3, 1, 5) $$
3. **求 $L_2$ 的方向向量** 平面法向量分别为 $$ \vec{n}_{21}=(3,6,-3),\quad \vec{n}_{22}=(2,-1,-1) $$ 方向向量 $$ \vec{s}_2 = \vec{n}_{21} \times \vec{n}_{22} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 6 & -3 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} $$ 计算： $$ \vec{s}_2 = \mathbf{i}(6\cdot(-1) - (-3)\cdot(-1)) - \mathbf{j}(3\cdot(-1) - (-3)\cdot2) + \mathbf{k}(3\cdot(-1) - 6\cdot2) $$ $$ = \mathbf{i}(-6 - 3) - \mathbf{j}(-3 + 6) + \mathbf{k}(-3 - 12) = (-9, -3, -15) $$
4. **判断平行关系** 观察 $\vec{s}_2 = (-9,-3,-15) = -3(3,1,5) = -3\vec{s}_1$， 因此 $\vec{s}_1$ 与 $\vec{s}_2$ 成比例，两直线方向相同或相反，故两直线平行。
**结论**：直线 $L_1$ 与 $L_2$ 平行。