📝 题目
6．将 $z O x$ 坐标面上的圆 $x^{2}+z^{2}=9$ 绕 $z$ 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**题目**：将 $zOx$ 坐标面上的圆 $x^{2}+z^{2}=9$ 绕 $z$ 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。
**解答步骤**：
1. 已知在 $zOx$ 平面（即 $y=0$ 平面）上的曲线方程为： $$ x^{2} + z^{2} = 9. $$
2. 将该曲线绕 $z$ 轴旋转时，曲线上任意一点 $(x,0,z)$ 在旋转过程中到 $z$ 轴的距离保持不变。在三维空间中，点 $(x,y,z)$ 到 $z$ 轴的距离为 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$。
3. 因此，旋转曲面上的点满足： $$ \sqrt{x^{2}+y^{2}} = |x_0|, $$ 其中 $x_0$ 是原曲线上对应点的横坐标。而原曲线方程中 $x_0^{2} + z^{2} = 9$，所以用 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 代替 $|x_0|$ 可得： $$ (\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2} + z^{2} = 9. $$
4. 化简即得旋转曲面方程： $$ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9. $$
**最终结果**： $$ \boxed{x^{2}+y^{2}+z^{2}=9} $$ 这是一个球心在原点、半径为 $3$ 的球面。