📝 题目
5．将 $z O x$ 坐标面上的抛物线 $z^{2}=5 x$ 绕 $x$ 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**步骤1：明确旋转曲面的生成条件** 已知 $zOx$ 坐标面上的曲线为 $$ z^{2} = 5x $$ 绕 $x$ 轴旋转。旋转时，$x$ 坐标保持不变，而 $y$ 和 $z$ 坐标满足到 $x$ 轴距离的平方关系： 旋转前曲线上任一点 $(x, 0, z)$ 到 $x$ 轴的距离平方为 $z^2$； 旋转后该点形成的圆上任意点 $(x, y, z)$ 到 $x$ 轴的距离平方为 $y^2 + z^2$。
**步骤2：代入旋转不变关系** 旋转过程中，距离 $x$ 轴的距离平方保持不变，即 $$ y^{2} + z^{2} = (\text{原曲线上对应点的 } z \text{ 坐标})^2 $$ 而原曲线方程为 $z^{2} = 5x$，因此将 $z^2$ 替换为 $y^2 + z^2$，得到 $$ y^{2} + z^{2} = 5x $$
**步骤3：写出最终方程** 整理得旋转曲面方程为 $$ \boxed{y^{2} + z^{2} = 5x} $$ 这是一个旋转抛物面，顶点在原点，开口沿 $x$ 轴正向。