📝 题目
7．设 $\boldsymbol{a}=(3,5,-2), \boldsymbol{b}=(2,1,4)$ ，问 $\lambda$ 与 $\mu$ 有怎样的关系，能使得 $\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}$ 与 $z$ 轴垂直？
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要使向量 $\lambda \boldsymbol{a} + \mu \boldsymbol{b}$ 与 $z$ 轴垂直。 $z$ 轴的方向向量可以取为 $\boldsymbol{k} = (0,0,1)$。 两个向量垂直的充要条件是它们的点积为零。
首先计算： $$ \lambda \boldsymbol{a} + \mu \boldsymbol{b} = \lambda(3,5,-2) + \mu(2,1,4) = (3\lambda + 2\mu,\; 5\lambda + \mu,\; -2\lambda + 4\mu) $$
与 $z$ 轴垂直的条件是点积： $$ (3\lambda + 2\mu,\; 5\lambda + \mu,\; -2\lambda + 4\mu) \cdot (0,0,1) = 0 $$ 即： $$ -2\lambda + 4\mu = 0 $$
由此得到： $$ 4\mu = 2\lambda \quad \Rightarrow \quad 2\mu = \lambda $$
因此，当 $\lambda = 2\mu$ 时，$\lambda \boldsymbol{a} + \mu \boldsymbol{b}$ 与 $z$ 轴垂直。 （若 $\mu = 0$，则 $\lambda = 0$，此时得到零向量，通常也认为与任何方向垂直，但一般我们考虑非平凡情形。）
最终关系为： $$ \boxed{\lambda = 2\mu} $$