📝 题目
6．求向量 $\boldsymbol{a}=(4,-3,4)$ 在向量 $\boldsymbol{b}=(2,2,1)$ 上的投影．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**题目**：求向量 $\boldsymbol{a}=(4,-3,4)$ 在向量 $\boldsymbol{b}=(2,2,1)$ 上的投影。
**解**： 向量 $\boldsymbol{a}$ 在向量 $\boldsymbol{b}$ 上的投影是一个标量（有正负），计算公式为 $$ \text{Proj}_{\boldsymbol{b}} \boldsymbol{a} = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{\|\boldsymbol{b}\|}. $$
第一步，计算点积： $$ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 4 \times 2 + (-3) \times 2 + 4 \times 1 = 8 - 6 + 4 = 6. $$
第二步，计算 $\boldsymbol{b}$ 的模长： $$ \|\boldsymbol{b}\| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3. $$
第三步，代入公式： $$ \text{Proj}_{\boldsymbol{b}} \boldsymbol{a} = \frac{6}{3} = 2. $$
因此，向量 $\boldsymbol{a}$ 在向量 $\boldsymbol{b}$ 上的投影为 $2$。
$$ \boxed{2} $$