📝 题目
10．过点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 分别作平行于 $z$ 轴的直线和平行于 $x O y$ 面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们分两部分来回答。
**1. 过点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 且平行于 $z$ 轴的直线** 平行于 $z$ 轴，意味着方向向量为 $(0,0,1)$，因此直线上任意点的坐标可表示为： $$ (x_0,\; y_0,\; z_0 + t), \quad t \in \mathbb{R}. $$ 所以，在这条直线上的点的坐标特点是： $$ x = x_0,\quad y = y_0,\quad z \text{ 任意}. $$ 即横坐标和纵坐标固定为 $P_0$ 的横纵坐标，只有竖坐标可以变化。
**2. 过点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 且平行于 $xOy$ 面的平面** 平行于 $xOy$ 面，意味着法向量为 $(0,0,1)$，因此平面方程为： $$ z = z_0. $$ 所以在这个平面上的点的坐标特点是： $$ z = z_0,\quad x,\; y \text{ 任意}. $$ 即竖坐标固定为 $P_0$ 的竖坐标，而横坐标和纵坐标可以任意取值。
**总结：** - 平行于 $z$ 轴的直线：$x = x_0,\; y = y_0$，$z$ 自由。 - 平行于 $xOy$ 面的平面：$z = z_0$，$x, y$ 自由。
难度：★☆☆☆☆