📝 题目
1．求过点 $(3,0,-1)$ 且与平面 $3 x-7 y+5 z-12=0$ 平行的平面方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知所求平面与给定平面 $3x - 7y + 5z - 12 = 0$ 平行，则它们的法向量相同。给定平面的法向量为 $$ \vec{n} = (3,\,-7,\,5). $$ 设所求平面方程为 $$ 3x - 7y + 5z + D = 0, $$ 其中 $D$ 为待定常数。
由于平面过点 $(3,0,-1)$，代入该点坐标： $$ 3(3) - 7(0) + 5(-1) + D = 0, $$ 即 $$ 9 - 5 + D = 0 \quad\Rightarrow\quad 4 + D = 0 \quad\Rightarrow\quad D = -4. $$
因此所求平面方程为 $$ \boxed{3x - 7y + 5z - 4 = 0}. $$
难度：★☆☆☆☆