📝 题目
2．求过点 $M_{0}(2,9,-6)$ 且与连接坐标原点及点 $M_{0}$ 的线段 $O M_{0}$ 垂直的平面方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**解题步骤：**
1. 首先，连接坐标原点 $O(0,0,0)$ 与点 $M_0(2,9,-6)$ 的线段 $OM_0$ 的方向向量即为向量 $\overrightarrow{OM_0}$： $$ \overrightarrow{OM_0} = (2-0,\ 9-0,\ -6-0) = (2,9,-6). $$
2. 所求平面与线段 $OM_0$ 垂直，因此平面的法向量 $\mathbf{n}$ 可取为 $\overrightarrow{OM_0}$，即： $$ \mathbf{n} = (2,9,-6). $$
3. 平面过点 $M_0(2,9,-6)$，由点法式方程可得： $$ 2(x-2) + 9(y-9) + (-6)(z+6) = 0. $$
4. 展开并化简： $$ 2x - 4 + 9y - 81 - 6z - 36 = 0, $$ $$ 2x + 9y - 6z - 121 = 0. $$
**最终平面方程为：** $$ \boxed{2x + 9y - 6z - 121 = 0}. $$