📝 题目
6．求螺旋线 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos \theta, \\ y=a \sin \theta, \text { 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程．} \\ z=b \theta\end{array}\right.$
💡 答案与解析
[AI解答]
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**第一步：在 $xOy$ 平面上的投影** 螺旋线的参数方程为 $$ \begin{cases} x = a \cos \theta,\\ y = a \sin \theta,\\ z = b\theta. \end{cases} $$ 在 $xOy$ 平面上的投影，即消去参数 $z$（或 $\theta$），只保留 $x, y$ 的关系。 由前两个方程可得 $$ x^2 + y^2 = a^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = a^2. $$ 因此，在 $xOy$ 平面上的投影曲线是圆： $$ x^2 + y^2 = a^2,\quad z = 0. $$
**第二步：在 $yOz$ 平面上的投影** 在 $yOz$ 平面上，坐标是 $(y,z)$，需要消去 $x$ 和 $\theta$ 之间的关系。 由参数方程可得 $$ y = a\sin\theta,\quad z = b\theta. $$ 因此 $\theta = \frac{z}{b}$，代入得 $$ y = a\sin\frac{z}{b}. $$ 所以投影曲线为 $$ y = a\sin\frac{z}{b},\quad x = 0. $$
**第三步：在 $xOz$ 平面上的投影** 在 $xOz$ 平面上，坐标是 $(x,z)$，同样消去 $y$ 和 $\theta$。 由 $$ x = a\cos\theta,\quad z = b\theta, $$ 得 $\theta = \frac{z}{b}$，代入得 $$ x = a\cos\frac{z}{b}. $$ 因此投影曲线为 $$ x = a\cos\frac{z}{b},\quad y = 0. $$
**最终答案** $$ \boxed{ \begin{aligned} &xOy\text{ 面投影：} x^2+y^2=a^2,\ z=0;\\ &yOz\text{ 面投影：} y=a\sin\frac{z}{b},\ x=0;\\ &xOz\text{ 面投影：} x=a\cos\frac{z}{b},\ y=0. \end{aligned} } $$