📝 题目
7．求上半球 $0 \leqslant z \leqslant \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 与圆柱体 $x^{2}+y^{2} \leqslant a x(a\gt 0)$ 的公共部分在 $x O y$ 面和 $z O x$ 面上的投影。
💡 答案与解析
[AI解答]
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**题目**：求上半球 $0 \leqslant z \leqslant \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 与圆柱体 $x^{2}+y^{2} \leqslant a x\;(a>0)$ 的公共部分在 $xOy$ 面和 $zOx$ 面上的投影。
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### 1. 在 $xOy$ 面上的投影
上半球在 $xOy$ 面上的投影区域是圆盘 $$ x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}. $$ 圆柱体在 $xOy$ 面上的投影区域是圆盘 $$ x^{2}+y^{2} \leqslant a x. $$ 公共部分在 $xOy$ 面上的投影就是这两个圆盘的交集，即 $$ x^{2}+y^{2} \leqslant a x. $$ 因为圆柱的投影已经包含在半球投影内部（注意 $a x \le a^{2}$ 在 $|x|\le a$ 时成立，而圆柱本身满足 $x\ge 0$，所以交集就是圆柱投影本身）。
因此，在 $xOy$ 面上的投影为 $$ \boxed{x^{2}+y^{2} \leqslant a x,\quad y\in\mathbb{R}}. $$
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### 2. 在 $zOx$ 面上的投影
在 $zOx$ 面上，坐标是 $(x,z)$，需要消去 $y$。
由圆柱条件： $$ x^{2}+y^{2} \leqslant a x \quad\Rightarrow\quad y^{2} \leqslant a x - x^{2}. $$ 这要求 $$ a x - x^{2} \ge 0 \quad\Rightarrow\quad 0 \le x \le a. $$ 同时，半球条件给出 $$ 0 \le z \le \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}}. $$ 对于固定的 $x$，要使得存在 $y$ 满足这两个条件，必须存在 $y$ 使得 $$ y^{2} \le a x - x^{2},\quad 且 \quad z \le \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}}. $$ 为了得到投影的边界，考虑 $z$ 的最大可能值：对固定的 $x$，当 $y=0$ 时，半球高度最大，为 $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$；但 $y=0$ 是否在圆柱内？当 $y=0$，圆柱条件变为 $x^{2} \le a x$，即 $x(x-a)\le 0$，所以 $0\le x\le a$，因此 $y=0$ 在圆柱内。所以上半部分的边界由 $z=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ 给出，但还要考虑圆柱对 $y$ 的限制是否会使最大高度降低。
对于固定的 $x$，半球高度随 $|y|$ 增大而减小，因此最大可能 $z$ 出现在 $|y|$ 尽可能小的时候，即 $y=0$。所以对于 $0\le x\le a$，高度上限就是 $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$。因此投影区域为 $$ 0 \le x \le a,\quad 0 \le z \le \sqrt{a^{2}-x^{2}}. $$ 这是四分之一圆（第一象限部分）。
因此，在 $zOx$ 面上的投影为 $$ \boxed{0 \le x \le a,\; 0 \le z \le \sqrt{a^{2}-x^{2}}}. $$
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**最终答案**： - 在 $xOy$ 面投影：$x^{2}+y^{2} \le a x$； - 在 $zOx$ 面投影：$0 \le x \le a,\; 0 \le z \le \sqrt{a^{2}-x^{2}}$。