📝 题目
＊12．已知 $\boldsymbol{a}=\left(a_{x}, a_{y}, a_{z}\right), \boldsymbol{b}=\left(b_{x}, b_{y}, b_{z}\right), \boldsymbol{c}=\left(c_{x}, c_{y}, c_{z}\right)$ ，试利用行列式的性质证明：
$$ (a \times b) \cdot c=(b \times c) \cdot a=(c \times a) \cdot b . $$
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们已知向量 $\boldsymbol{a}=(a_x,a_y,a_z),\ \boldsymbol{b}=(b_x,b_y,b_z),\ \boldsymbol{c}=(c_x,c_y,c_z)$。
混合积的表达式为： $$ (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c} = \det\begin{pmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{pmatrix}. $$
同理， $$ (\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{a} = \det\begin{pmatrix} b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ a_x & a_y & a_z \end{pmatrix}. $$
由行列式的性质：交换两行，行列式变号；交换两次，行列式不变。 将第一个行列式的第一行与第二行交换，得： $$ \det\begin{pmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{pmatrix} = -\det\begin{pmatrix} b_x & b_y & b_z \\ a_x & a_y & a_z \\ c_x & c_y & c_z \end{pmatrix}. $$ 再将第二行与第三行交换： $$ = - \left( -\det\begin{pmatrix} b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ a_x & a_y & a_z \end{pmatrix} \right) = \det\begin{pmatrix} b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ a_x & a_y & a_z \end{pmatrix}. $$ 因此 $$ (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c} = (\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{a}. $$
同理，再交换一次行序可得第三个等式： $$ (\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{a} = (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{b}. $$
所以三个混合积相等，即 $$ (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c} = (\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{a} = (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{b}. $$
难度：★☆☆☆☆