📝 题目
3．把 $\triangle A B C$ 的 $B C$ 边五等分，设分点依次为 $D_{1}, D_{2}, D_{3}, D_{4}$ ，再把各分点与点 $A$ 连接．试以 $\overrightarrow{A B}=c$ ， $\overrightarrow{B C}=a$ 表示向量 $\overrightarrow{D_{1} A}, \overrightarrow{D_{2} A}, \overrightarrow{D_{3} A}$ 和 $\overrightarrow{D_{4} A}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**题意分析** 已知三角形 $ABC$，将边 $BC$ 五等分，分点依次为 $D_1, D_2, D_3, D_4$（从 $B$ 到 $C$ 方向）。 已知向量 $$ \overrightarrow{AB} = c,\quad \overrightarrow{BC} = a $$ 需要表示 $$ \overrightarrow{D_1A},\ \overrightarrow{D_2A},\ \overrightarrow{D_3A},\ \overrightarrow{D_4A} $$
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**第一步：表示点 $B, C$ 的位置向量** 取 $A$ 为原点，则 $$ \overrightarrow{AB} = c \quad\Rightarrow\quad B = c $$ 又 $$ \overrightarrow{BC} = a \quad\Rightarrow\quad C = B + a = c + a $$
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**第二步：表示分点 $D_k$ 的位置向量** 将 $BC$ 五等分，从 $B$ 到 $C$ 的第 $k$ 个分点满足 $$ D_k = B + \frac{k}{5}(C - B) = c + \frac{k}{5}a,\quad k=1,2,3,4 $$
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**第三步：表示向量 $\overrightarrow{D_k A}$** 因为 $A$ 是原点，所以 $$ \overrightarrow{D_k A} = A - D_k = -D_k = -c - \frac{k}{5}a $$
分别代入 $k=1,2,3,4$：
$$ \boxed{\overrightarrow{D_1 A} = -c - \frac{1}{5}a} $$ $$ \boxed{\overrightarrow{D_2 A} = -c - \frac{2}{5}a} $$ $$ \boxed{\overrightarrow{D_3 A} = -c - \frac{3}{5}a} $$ $$ \boxed{\overrightarrow{D_4 A} = -c - \frac{4}{5}a} $$
这些即为所求。