📝 题目
5．求平面 $2 x-2 y+z+5=0$ 与各坐标面的夹角的余弦．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 平面方程为 $$ 2x - 2y + z + 5 = 0 $$ 其法向量为 $$ \vec{n} = (2, -2, 1) $$ 坐标面分别为 $xOy$ 面（法向量 $\vec{k} = (0,0,1)$）、$yOz$ 面（法向量 $\vec{i} = (1,0,0)$）、$zOx$ 面（法向量 $\vec{j} = (0,1,0)$）。 两平面夹角定义为它们法向量之间锐角的余弦值（取绝对值）。
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**1. 与 $xOy$ 面夹角余弦** $$ \cos\theta_1 = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}|\,|\vec{k}|} = \frac{|2\cdot 0 + (-2)\cdot 0 + 1\cdot 1|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{4+4+1}} = \frac{1}{3} $$
**2. 与 $yOz$ 面夹角余弦** $$ \cos\theta_2 = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{i}|}{|\vec{n}|\,|\vec{i}|} = \frac{|2\cdot 1 + (-2)\cdot 0 + 1\cdot 0|}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3} $$
**3. 与 $zOx$ 面夹角余弦** $$ \cos\theta_3 = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{j}|}{|\vec{n}|\,|\vec{j}|} = \frac{|2\cdot 0 + (-2)\cdot 1 + 1\cdot 0|}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3} $$
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因此，该平面与三个坐标面夹角的余弦分别为 $$ \boxed{\frac{1}{3},\quad \frac{2}{3},\quad \frac{2}{3}} $$
难度：★☆☆☆☆