📝 题目
10．设一平行四边形对角线为 $c=a+2 b, d=3 a-4 b$ ，其中 $a, b$为单位向量且 $a \perp b$ ，求该平行四边形的面积．
💡 答案与解析
[AI解答]
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已知平行四边形的两条对角线向量为： $$ c = a + 2b, \quad d = 3a - 4b $$ 其中 $a, b$ 是单位向量，且 $a \perp b$，即： $$ |a| = 1,\quad |b| = 1,\quad a \cdot b = 0. $$
平行四边形的面积公式可以用对角线表示：若对角线向量为 $c$ 和 $d$，则面积 $$ S = \frac{1}{2} |c \times d|. $$ （在二维或三维向量中，叉积的模等于以这两个向量为邻边的平行四边形面积的一半，这里注意：对角线向量对应的平行四边形面积是原平行四边形面积的两倍，因此公式正确。）
先计算叉积 $c \times d$（在二维中可视为标量叉积，即行列式的绝对值）： $$ c \times d = (a + 2b) \times (3a - 4b). $$ 利用叉积的分配律和反交换律 $a \times a = 0,\; b \times b = 0,\; a \times b = - b \times a$： $$ \begin{aligned} c \times d &= a \times (3a - 4b) + 2b \times (3a - 4b) \\ &= 3(a \times a) - 4(a \times b) + 6(b \times a) - 8(b \times b) \\ &= 0 - 4(a \times b) + 6(b \times a) - 0 \\ &= -4(a \times b) + 6(-a \times b) \\ &= -4(a \times b) - 6(a \times b) \\ &= -10 (a \times b). \end{aligned} $$
因此 $$ |c \times d| = |-10| \cdot |a \times b| = 10 |a \times b|. $$
由于 $a$ 和 $b$ 是垂直的单位向量，叉积的模为： $$ |a \times b| = |a||b|\sin 90^\circ = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1. $$
所以 $$ |c \times d| = 10. $$
于是平行四边形的面积为： $$ S = \frac{1}{2} \times 10 = 5. $$
最终答案为： $$ \boxed{5} $$