📝 题目
11．设有四面体 $O P Q R$（图8－28），其中 $\triangle O P Q, \triangle O Q R$ ， $\triangle O P R$ 和 $\triangle P Q R$ 的面积分别为 $A, B, C$ 和 $D$ ．试用向量方法证明如下三维空间中的勾股定理：
$$ A^{2}+B^{2}+C^{2}=D^{2} . $$
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**： 设四面体 $O P Q R$ 的顶点坐标分别为 $$ O = \mathbf{0},\quad P = \mathbf{p},\quad Q = \mathbf{q},\quad R = \mathbf{r}. $$ 则各面的面积可用向量积的模的一半表示。
1. 三角形 $OPQ$ 的面积为 $$ A = \frac{1}{2} \|\mathbf{p} \times \mathbf{q}\|. $$ 2. 三角形 $OQR$ 的面积为 $$ B = \frac{1}{2} \|\mathbf{q} \times \mathbf{r}\|. $$ 3. 三角形 $OPR$ 的面积为 $$ C = \frac{1}{2} \|\mathbf{r} \times \mathbf{p}\|. $$ 4. 三角形 $PQR$ 的面积为 $$ D = \frac{1}{2} \| (\mathbf{q} - \mathbf{p}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{p}) \|. $$
展开最后一项： $$ (\mathbf{q} - \mathbf{p}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{p}) = \mathbf{q} \times \mathbf{r} - \mathbf{q} \times \mathbf{p} - \mathbf{p} \times \mathbf{r} + \mathbf{p} \times \mathbf{p}. $$ 由于 $\mathbf{p} \times \mathbf{p} = \mathbf{0}$，且 $\mathbf{q} \times \mathbf{p} = -\mathbf{p} \times \mathbf{q}$，$\mathbf{p} \times \mathbf{r} = -\mathbf{r} \times \mathbf{p}$，因此 $$ (\mathbf{q} - \mathbf{p}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{p}) = \mathbf{q} \times \mathbf{r} + \mathbf{p} \times \mathbf{q} + \mathbf{r} \times \mathbf{p}. $$ 记 $$ \mathbf{a} = \mathbf{p} \times \mathbf{q},\quad \mathbf{b} = \mathbf{q} \times \mathbf{r},\quad \mathbf{c} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}. $$ 则 $$ (\mathbf{q} - \mathbf{p}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{p}) = \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}. $$ 于是 $$ D = \frac{1}{2} \|\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}\|. $$
注意到 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 分别垂直于平面 $OPQ, OQR, OPR$，且由于这三个平面两两垂直（因四面体顶点在原点，三个坐标平面可视为相互垂直），故 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 相互正交。事实上，若取坐标系使 $O$ 为原点，且 $OP, OQ, OR$ 分别沿 $x, y, z$ 轴，则 $$ \mathbf{p} = (p,0,0),\quad \mathbf{q} = (0,q,0),\quad \mathbf{r} = (0,0,r), $$ 那么 $$ \mathbf{a} = \mathbf{p} \times \mathbf{q} = (0,0,pq),\quad \mathbf{b} = \mathbf{q} \times \mathbf{r} = (qr,0,0),\quad \mathbf{c} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = (0,rp,0), $$ 显然两两正交。因此 $$ \|\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}\|^2 = \|\mathbf{a}\|^2 + \|\mathbf{b}\|^2 + \|\mathbf{c}\|^2. $$ 于是 $$ (2D)^2 = (2A)^2 + (2B)^2 + (2C)^2, $$ 即 $$ 4D^2 = 4A^2 + 4B^2 + 4C^2, $$ 两边除以4得 $$ A^2 + B^2 + C^2 = D^2. $$
证毕。