📝 题目
2．已知一球面的球心在点 $P_{0}(3,-5,2)$ 且与平面 $\Pi: 2 x-y+3 z+9=0$ 相切，求该球面方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**第一步：确定球面半径** 球面与平面相切，球心到平面的距离即为半径。 球心 $P_0(3,-5,2)$ 到平面 $\Pi: 2x - y + 3z + 9 = 0$ 的距离公式为： $$ r = \frac{|2\cdot 3 + (-1)\cdot(-5) + 3\cdot 2 + 9|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} $$
**第二步：计算分子** $$ 2\cdot 3 = 6,\quad (-1)\cdot(-5)=5,\quad 3\cdot 2=6 $$ 代入常数项： $$ 6 + 5 + 6 + 9 = 26 $$ 取绝对值仍为 $26$。
**第三步：计算分母** $$ \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} $$ 因此： $$ r = \frac{26}{\sqrt{14}} $$
**第四步：写出球面方程** 球心为 $(3,-5,2)$，半径为 $r$，标准方程为： $$ (x-3)^2 + (y+5)^2 + (z-2)^2 = r^2 $$ 其中： $$ r^2 = \left(\frac{26}{\sqrt{14}}\right)^2 = \frac{676}{14} = \frac{338}{7} $$
**第五步：最终方程** $$ \boxed{(x-3)^2 + (y+5)^2 + (z-2)^2 = \frac{338}{7}} $$