📝 题目
15．求直线 $\left\{\begin{array}{l}2 x-4 y+z=0, \\ 3 x-y-2 z-9=0\end{array}\right.$ 在平面 $4 x-y+z=1$ 上的投影直线的方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**第一步：确定直线的方向向量** 给定直线由两个平面方程联立： $$ \begin{cases} 2x - 4y + z = 0, \\ 3x - y - 2z - 9 = 0. \end{cases} $$ 两平面的法向量分别为： $$ \mathbf{n}_1 = (2, -4, 1), \quad \mathbf{n}_2 = (3, -1, -2). $$ 直线的方向向量 $\mathbf{s}$ 垂直于这两个法向量，因此： $$ \mathbf{s} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -4 & 1 \\ 3 & -1 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-4)(-2) - (1)(-1)) - \mathbf{j}((2)(-2) - (1)(3)) + \mathbf{k}((2)(-1) - (-4)(3)). $$ 计算： $$ \mathbf{i}: \quad 8 + 1 = 9, \quad \mathbf{j}: \quad -4 - 3 = -7 \quad (\text{注意前面有负号，所以变为 } +7), \quad \mathbf{k}: \quad -2 + 12 = 10. $$ 因此： $$ \mathbf{s} = (9, 7, 10). $$
**第二步：求直线上一点** 令 $z = 0$，则方程组变为： $$ \begin{cases} 2x - 4y = 0, \\ 3x - y = 9. \end{cases} $$ 由第一式得 $x = 2y$，代入第二式： $$ 3(2y) - y = 9 \quad \Rightarrow \quad 6y - y = 9 \quad \Rightarrow \quad 5y = 9 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{9}{5}. $$ 于是 $x = 2 \cdot \frac{9}{5} = \frac{18}{5}$。 所以直线上一点为： $$ M_0\left(\frac{18}{5}, \frac{9}{5}, 0\right). $$
**第三步：构造过直线的平面束并求投影平面** 过已知直线的平面束方程为： $$ (2x - 4y + z) + \lambda(3x - y - 2z - 9) = 0. $$ 整理得： $$ (2 + 3\lambda)x + (-4 - \lambda)y + (1 - 2\lambda)z - 9\lambda = 0. $$ 我们要求此平面束中与给定平面 $4x - y + z = 1$ 垂直的平面。 给定平面的法向量为 $\mathbf{n}_p = (4, -1, 1)$。 两平面垂直的条件是它们的法向量点积为零： $$ (2 + 3\lambda) \cdot 4 + (-4 - \lambda) \cdot (-1) + (1 - 2\lambda) \cdot 1 = 0. $$ 计算： $$ 8 + 12\lambda + 4 + \lambda + 1 - 2\lambda = 0, $$ $$ (8+4+1) + (12\lambda + \lambda - 2\lambda) = 13 + 11\lambda = 0, $$ 解得： $$ \lambda = -\frac{13}{11}. $$
**第四步：得到投影平面方程** 将 $\lambda = -\frac{13}{11}$ 代入平面束方程： $$ \left(2 + 3\cdot\left(-\frac{13}{11}\right)\right)x + \left(-4 - \left(-\frac{13}{11}\right)\right)y + \left(1 - 2\cdot\left(-\frac{13}{11}\right)\right)z - 9\left(-\frac{13}{11}\right) = 0. $$ 分别计算系数： $$ 2 - \frac{39}{11} = \frac{22 - 39}{11} = -\frac{17}{11}, $$ $$ -4 + \frac{13}{11} = \frac{-44 + 13}{11} = -\frac{31}{11}, $$ $$ 1 + \frac{26}{11} = \frac{11 + 26}{11} = \frac{37}{11}, $$ 常数项： $$ \frac{117}{11}. $$ 因此方程为： $$ -\frac{17}{11}x - \frac{31}{11}y + \frac{37}{11}z + \frac{117}{11} = 0, $$ 乘以 11 得： $$ -17x - 31y + 37z + 117 = 0, $$ 或写为： $$ 17x + 31y - 37z = 117. $$
**第五步：投影直线方程** 投影直线是投影平面与给定平面 $4x - y + z = 1$ 的交线，故方程为： $$ \boxed{\begin{cases} 17x + 31y - 37z = 117, \\ 4x - y + z = 1. \end{cases}} $$