📝 题目
19．设 $m=3 i+5 j+8 k, n=2 i-4 j-7 k$ 和 $p=5 i+j-4 k$ ，求向量 $a=4 m+3 n-p$ 在 $x$ 轴上的投影及在 $y$ 轴上的分向量．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 首先写出已知向量： $$ m = 3\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 8\mathbf{k},\quad n = 2\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 7\mathbf{k},\quad p = 5\mathbf{i} + \mathbf{j} - 4\mathbf{k}. $$
我们需要计算： $$ a = 4m + 3n - p. $$
先分别计算各项：
$$ 4m = 4(3\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 8\mathbf{k}) = 12\mathbf{i} + 20\mathbf{j} + 32\mathbf{k}, $$ $$ 3n = 3(2\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 7\mathbf{k}) = 6\mathbf{i} - 12\mathbf{j} - 21\mathbf{k}, $$ $$ -p = -(5\mathbf{i} + \mathbf{j} - 4\mathbf{k}) = -5\mathbf{i} - \mathbf{j} + 4\mathbf{k}. $$
将它们相加：
$$ a = (12+6-5)\mathbf{i} + (20-12-1)\mathbf{j} + (32-21+4)\mathbf{k} $$ $$ = 13\mathbf{i} + 7\mathbf{j} + 15\mathbf{k}. $$
因此向量 $a$ 的坐标为 $(13, 7, 15)$。
(1) 向量 $a$ 在 $x$ 轴上的投影，即 $a$ 的 $x$ 分量： $$ \text{投影} = 13. $$
(2) 在 $y$ 轴上的分向量，即只保留 $y$ 方向的分量： $$ \text{分向量} = 7\mathbf{j}. $$
最终答案： $$ \boxed{13} \quad\text{和}\quad \boxed{7\mathbf{j}}. $$
难度：★☆☆☆☆