📝 题目
3．分别求母线平行于 $x$ 轴及 $y$ 轴而且通过曲线 $\left\{\begin{array}{l}2 x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 \\ x^{2}+z^{2}-y^{2}=0\end{array}\right.$ 的柱面方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知曲线由方程组 $$ \begin{cases} 2x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 \$$2mm] x^{2}+z^{2}-y^{2}=0 \end{cases} $$ 给出。要求母线平行于坐标轴的柱面方程，即消去与母线方向对应的变量。
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**1. 母线平行于 $x$ 轴** 此时柱面方程中不含 $x$，只需从方程组中消去 $x$。 由第二式得 $$ x^{2}=y^{2}-z^{2} $$ 代入第一式： $$ 2(y^{2}-z^{2})+y^{2}+z^{2}=16 $$ 化简： $$ 2y^{2}-2z^{2}+y^{2}+z^{2}=3y^{2}-z^{2}=16 $$ 因此母线平行于 $x$ 轴的柱面方程为 $$ \boxed{3y^{2}-z^{2}=16} $$
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**2. 母线平行于 $y$ 轴** 此时消去 $y$。由第二式得 $$ y^{2}=x^{2}+z^{2} $$ 代入第一式： $$ 2x^{2}+(x^{2}+z^{2})+z^{2}=16 $$ 化简： $$ 3x^{2}+2z^{2}=16 $$ 因此母线平行于 $y$ 轴的柱面方程为 $$ \boxed{3x^{2}+2z^{2}=16} $$
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**难度评级**：★☆☆☆☆ 此题只需简单的代入消元，属于空间解析几何基础题，计算量小且思路直接。