📝 题目
1．设 $f(x, y)=\mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}+y^{4}}}$ ，求 $f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 要求偏导数 $ f_x(0,0) $ 和 $ f_y(0,0) $，函数为 $$ f(x, y) = e^{\sqrt{x^{2}+y^{4}}}. $$ 由于在 $(0,0)$ 点处，根号内为0，指数为1，函数值 $ f(0,0)=1 $。但直接求偏导公式在 $(0,0)$ 处可能不适用，因为根号内函数在原点处不可微，因此我们用偏导数的定义：
**步骤1：求 $ f_x(0,0) $** 由定义： $$ f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}. $$ 代入 $ y=0 $： $$ f(h,0) = e^{\sqrt{h^{2}+0}} = e^{|h|}. $$ 因此： $$ f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{|h|} - 1}{h}. $$ 当 $ h \to 0^+ $ 时，$ |h| = h $，极限为： $$ \lim_{h \to 0^+} \frac{e^{h} - 1}{h} = 1. $$ 当 $ h \to 0^- $ 时，$ |h| = -h $，极限为： $$ \lim_{h \to 0^-} \frac{e^{-h} - 1}{h}. $$ 令 $ t = -h $，则 $ t \to 0^+ $，上式变为： $$ \lim_{t \to 0^+} \frac{e^{t} - 1}{-t} = -1. $$ 左右极限不相等，因此极限不存在，即 $ f_x(0,0) $ 不存在。
**步骤2：求 $ f_y(0,0) $** 由定义： $$ f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k}. $$ 代入 $ x=0 $： $$ f(0,k) = e^{\sqrt{0 + k^{4}}} = e^{k^{2}}. $$ 因此： $$ f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{e^{k^{2}} - 1}{k}. $$ 利用等价无穷小 $ e^{k^{2}} - 1 \sim k^{2} $（当 $ k \to 0 $），得： $$ \lim_{k \to 0} \frac{k^{2}}{k} = \lim_{k \to 0} k = 0. $$ 因此 $ f_y(0,0) = 0 $。
**最终答案：** $$ \boxed{f_x(0,0)\ \text{不存在},\quad f_y(0,0)=0}. $$
难度：★★☆☆☆