第9章

共 104 道题目
9-1-1 📝 有解析
第9-1-1题
1．判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集，并分别指出它们的聚点所成的点集（称为导集）和边界． （1）$\{(x, y) \mid x \neq 0, y \neq 0\}$ ； （2）$\left\{(x, y) \mid 1\lt x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ； （3）$\left\{(x, y) \mid y\gt x^{2}\right\}$ ； （4）$\left\{(x, y) \mid x^{2}+(y-1)^{2} \geqslant 1\right\} \cap\left\{(x, y) \mid x^{2}+(y-2)^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
9-1-2 📝 有解析
第9-1-2题
2．已知函数 $f(x, y)=x^{2}+y^{2}-x y \tan \frac{x}{y}$ ，试求 $f(t x, t y)$ ．
9-1-3 📝 有解析
第9-1-3题
3．试证函数 $F(x, y)=\ln x \cdot \ln y$ 满足关系式 $$ F(x y, u v)=F(x, u)+F(x, v)+F(y, u)+F(y, v) . $$
9-1-4 📝 有解析
第9-1-4题
4．已知函数 $f(u, v, w)=u^{w}+w^{u+v}$ ，试求 $f(x+y, x-y, x y)$ ．
9-1-5 📝 有解析
第9-1-5题
5．求下列各函数的定义域： （1）$z=\ln \left(y^{2}-2 x+1\right)$ ； （2）$z=\frac{1}{\sqrt{x+y}}+\frac{1}{\sqrt{x-y}}$ ； （3）$z=\sqrt{x-\sqrt{y}}$ ； （4）$z=\ln (y-x)+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}$ ； （5）$u=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}}(R\gt r\gt 0)$ ； （6）$u=\arccos \frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ．
9-1-6 📝 有解析
第9-1-6题
6．求下列各极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,1)} \frac{1-x y}{x^{2}+y^{2}}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{\ln \left(x+\mathrm{e}^{y}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2-\sqrt{x y+4}}{x y}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{2-\mathrm{e}^{x y}}-1}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(2,0)} \frac{\tan (x y)}{y}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{1-\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{e}^{x^{2} y^{2}}}$ ．
9-1-8 📝 有解析
第9-1-8题
8．函数 $z=\frac{y^{2}+2 x}{y^{2}-2 x}$ 在何处是间断的？
9-1-*10 📝 有解析
第9-1-*10题
＊10．设 $F(x, y)=f(x), f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续，证明：对任意 $y_{0} \in \mathbb{R}, F(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续．
9-1-*7 📝 有解析
第9-1-*7题
＊7．证明下列极限不存在： （1） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x+y}{x-y}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}+(x-y)^{2}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x+y}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{1-\cos (x+y)}{(x+y) x y}$ ．
9-1-*9 📝 有解析
第9-1-*9题
＊9．证明 $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0$ ．
9-10-1 📝 有解析
第9-10-1题
1．某种合金的含铅量百分比（\％）为 $p$ ，其熔解温度（ ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ）为 $\theta$ ，由实验测得 $p$ 与 $\theta$ 的数据如下表： \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c} \hline$p / \%$ & 36.9 & 46.7 & 63.7 & 77.8 & 84.0 & 87.5 \\ \hline$\theta /{ }^{\circ} \mathrm{C}$ & 181 & 197 & 235 & 270 & 283 & 292 \\ \hline \end{tabular} 试用最小二乘法建立 $\theta$ 与 $p$ 之间的经验公式 $\theta=a p+b$ ．
9-10-2 📝 有解析
第9-10-2题
2．已知一组实验数据为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ．现若假定经验公式是 $$ y=a x^{2}+b x+c $$ 试按最小二乘法建立 $a, b, c$ 应满足的三元一次方程组．
9-2-1 📝 有解析
第9-2-1题
1．设 $f(x, y)=\mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}+y^{4}}}$ ，求 $f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ ．
9-2-10 📝 有解析
第9-2-10题
10．验证： （1）$y=\mathrm{e}^{-k n^{2} t} \sin n x$ 满足 $\frac{\partial y}{\partial t}=k \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}$ ； （2）$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 满足 $\frac{\partial^{2} r}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} r}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} r}{\partial z^{2}}=\frac{2}{r}$ ．
9-2-2 📝 有解析
第9-2-2题
2．求下列函数的偏导数： （1）$z=x^{3} y-y^{3} x$ ； （2）$s=\frac{u^{2}+v^{2}}{u v}$ ； （3）$z=\sqrt{\ln (x y)}$ ； （4）$z=\sin (x y)+\cos ^{2}(x y)$ ； （5）$z=\ln \tan \frac{x}{y}$ ； （6）$z=(1+x y)^{y}$ ； （7）$u=x^{\frac{y}{z}}$ ； （8）$u=\arctan (x-y)^{z}$ ．
9-2-3 📝 有解析
第9-2-3题
3．设 $T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ ，求证 $l \frac{\partial T}{\partial l}+g \frac{\partial T}{\partial g}=0$ ．
9-2-4 📝 有解析
第9-2-4题
4．设 $z=\mathrm{e}^{-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)}$ ，求证 $x^{2} \frac{\partial z}{\partial x}+y^{2} \frac{\partial z}{\partial y}=2 z$ ．
9-2-5 📝 有解析
第9-2-5题
5．设 $f(x, y)=x+(y-1) \arcsin \sqrt{\frac{x}{y}}$ ，求 $f_{x}(x, 1)$ ．
9-2-6 📝 有解析
第9-2-6题
6．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=\frac{x^{2}+y^{2}}{4} \\ y=4\end{array}\right.$ 在点 $(2,4,5)$ 处的切线对于 $x$ 轴的倾角．
9-2-7 📝 有解析
第9-2-7题
7．求下列函数的 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ 和 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ： （1）$z=x^{4}+y^{4}-4 x^{2} y^{2}$ ； （2）$z=\arctan \frac{y}{x}$ ； （3）$z=y^{x}$ ．
9-2-8 📝 有解析
第9-2-8题
8．设 $f(x, y, z)=x y^{2}+y z^{2}+z x^{2}$ ，求 $f_{x x}(0,0,1), f_{x z}(1,0,2), f_{y z}(0,-1,0)$ 及 $f_{z x x}(2,0,1)$ ．
9-2-9 📝 有解析
第9-2-9题
9．设 $z=x \ln (x y)$ ，求 $\frac{\partial^{3} z}{\partial x^{2} \partial y}$ 及 $\frac{\partial^{3} z}{\partial x \partial y^{2}}$ ．
9-3-1 📝 有解析
第9-3-1题
1．求下列函数的全微分： （1）$z=x y+\frac{x}{y}$ ； （2）$z=e^{\frac{y}{x}}$ ； （3）$z=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ； （4）$u=x^{y z}$ ．
9-3-2 📝 有解析
第9-3-2题
2．求函数 $z=\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)$ 当 $x=1, y=2$ 时的全微分．
9-3-3 📝 有解析
第9-3-3题
3．求函数 $z=\frac{y}{x}$ 当 $x=2, y=1, \Delta x=0.1, \Delta y=-0.2$ 时的全增量和全微分．
9-3-4 📝 有解析
第9-3-4题
4．求函数 $z=\mathrm{e}^{x y}$ 当 $x=1, y=1, \Delta x=0.15, \Delta y=0.1$ 时的全微分．
9-3-5 📝 有解析
第9-3-5题
5．考虑二元函数 $f(x, y)$ 的下面四条性质： （1）$f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续； （2）$f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续； （3）$f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 可微分； （4）$f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 存在． 若用＂$P \Rightarrow Q$＂表示可由性质 $P$ 推出性质 $Q$ ，则下列四个选项中正确的是（ ． （A）（2）⇒（3）$\Rightarrow(1)$ （B）$(3) \Rightarrow(2) \Rightarrow(1)$ （C）（3）⇒（4）$\Rightarrow(1)$ （D）$(3) \Rightarrow(1) \Rightarrow(4)$
9-3-*10 📝 有解析
第9-3-*10题
＊10．设有直角三角形，测得其两直角边的长分别为 $(7 \pm 0.1) \mathrm{cm}$ 和 $(24 \pm 0.1) \mathrm{cm}$ ．试求利用上述两值来计算斜边长度时的绝对误差．
9-3-*11 📝 有解析
第9-3-*11题
＊11．测得一块三角形土地的两边边长分别为 $(63 \pm 0.1) \mathrm{m}$ 和 $(78 \pm 0.1) \mathrm{m}$ ，这两边的夹角为 $60^{\circ} \pm 1^{\circ}$ ．试求这块三角形土地面积的近似值，并求其绝对误差和相对误差。
9-3-*12 📝 有解析
第9-3-*12题
＊12．利用全微分证明：两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和．
9-3-*13 📝 有解析
第9-3-*13题
＊13．利用全微分证明：乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和，商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和．
9-3-*6 📝 有解析
第9-3-*6题
＊6．计算 $\sqrt{1.02^{3}+1.97^{3}}$ 的近似值．
9-3-*7 📝 有解析
第9-3-*7题
＊7．计算 $1.97^{1.05}$ 的近似值（ $\ln 2=0.693$ ）．
9-3-*8 📝 有解析
第9-3-*8题
＊8．已知边长为 $x=6 \mathrm{~m}$ 与 $y=8 \mathrm{~m}$ 的矩形，如果 $x$ 边增加 5 cm 而 $y$ 边减少 10 cm ，问这个矩形的对角线的近似变化怎样？
9-3-*9 📝 有解析
第9-3-*9题
＊9．设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为 0.1 cm ，内高为 20 cm ，内半径为 4 cm ．求这个容器外壳体积的近似值．
9-4-1 📝 有解析
第9-4-1题
1．设 $z=u^{2}+v^{2}$ ，而 $u=x+y, v=x-y$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ ．
9-4-10 📝 有解析
第9-4-10题
10．设 $z=\frac{y}{f\left(x^{2}-y^{2}\right)}$ ，其中 $f(u)$ 为可导函数，验证 $\frac{1}{x} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{y} \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{z}{y^{2}}$ ．
9-4-11 📝 有解析
第9-4-11题
11．设函数 $f(x, y, z)$ 满足 $f(t x, t y, t z)=t^{n} f(x, y, z)$（ $t$ 为任意实数），则称函数 $f$ 为 $n$ 次齐次函数．证明：$n$ 次齐次函数 $f$ 满足关系式 $$ x f_{x}+y f_{y}+z f_{z}=n f(x, y, z), $$ 其中函数 $f$ 具有一阶连续偏导数．
9-4-12 📝 有解析
第9-4-12题
12．设 $z=f\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶导数，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ ．
9-4-2 📝 有解析
第9-4-2题
2．设 $z=u^{2} \ln v$ ，而 $u=\frac{x}{y}, v=3 x-2 y$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ ．
9-4-3 📝 有解析
第9-4-3题
3．设 $z=\mathrm{e}^{x-2 y}$ ，而 $x=\sin t, y=t^{3}$ ，求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ ．
9-4-4 📝 有解析
第9-4-4题
4．设 $z=\arcsin (x-y)$ ，而 $x=3 t, y=4 t^{3}$ ，求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ ．
9-4-5 📝 有解析
第9-4-5题
5．设 $z=\arctan (x y)$ ，而 $y=\mathrm{e}^{x}$ ，求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ ．
9-4-6 📝 有解析
第9-4-6题
6．设 $u=\frac{\mathrm{e}^{a x}(y-z)}{a^{2}+1}$ ，而 $y=a \sin x, z=\cos x$ ，求 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$ ．
9-4-7 📝 有解析
第9-4-7题
7．设 $z=\arctan \frac{x}{y}$ ，而 $x=u+v, y=u-v$ ，验证 $\frac{\partial z}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{u-v}{u^{2}+v^{2}}$ ．
9-4-8 📝 有解析
第9-4-8题
8．求下列函数的一阶偏导数（其中 $f$ 具有一阶连续偏导数）： （1）$u=f\left(x^{2}-y^{2}, \mathrm{e}^{x y}\right)$ ； （2）$u=f\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{z}\right)$ ； （3）$u=f(x, x y, x y z)$ ．
9-4-9 📝 有解析
第9-4-9题
9．设 $z=x y+x F(u)$ ，而 $u=\frac{y}{x}, F(u)$ 为可导函数，证明 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z+x y$ ．
9-4-*13 📝 有解析
第9-4-*13题
＊13．求下列函数的 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$（其中 $f$ 具有二阶连续偏导数）： （1）$z=f(x y, y)$ ； （2）$z=f\left(x, \frac{x}{y}\right)$ ； （3）$z=f\left(x y^{2}, x^{2} y\right)$ ； （4）$z=f\left(\sin x, \cos y, \mathrm{e}^{x+y}\right)$ ．
9-4-*14 📝 有解析
第9-4-*14题
＊14．设 $u=f(x, y)$ 的所有二阶偏导数连续，而 $$ x=\frac{s-\sqrt{3} t}{2}, \quad y=\frac{\sqrt{3} s+t}{2}, $$ 证明 $$ \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}=\left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2} \text { 及 } \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial s^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} \text {. } $$
9-5-1 📝 有解析
第9-5-1题
1．设 $\sin y+\mathrm{e}^{x}-x y^{2}=0$ ，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．
9-5-11 📝 有解析
第9-5-11题
11．求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数： （1）设 $\left\{\begin{array}{l}z=x^{2}+y^{2}, \\ x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=20,\end{array}\right.$ 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x}$ ； （2）设 $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=0, \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\end{array}\right.$ 求 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} z}, \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} z}$ ； （3）设 $\left\{\begin{array}{l}u=f(u x, v+y), \\ v=g\left(u-x, v^{2} y\right),\end{array}\right.$ 其中 $f, g$ 具有一阶连续偏导数，求 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x}$ ； （4）设 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^{u}+u \sin v, \\ y=\mathrm{e}^{u}-u \cos v,\end{array}\right.$ 求 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y}$ ．
9-5-12 📝 有解析
第9-5-12题
12．设 $y=f(x, t)$ ，而 $t=t(x, y)$ 是由方程 $F(x, y, t)=0$ 所确定的函数，其中 $f, F$ 都具有一阶连续偏导数．试证明 $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial t}-\frac{\partial f}{\partial t} \frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial t} \frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial t}} $$
9-5-2 📝 有解析
第9-5-2题
2．设 $\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\arctan \frac{y}{x}$ ，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．
9-5-3 📝 有解析
第9-5-3题
3．设 $x+2 y+z-2 \sqrt{x y z}=0$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 及 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．
9-5-4 📝 有解析
第9-5-4题
4．设 $\frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 及 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．
9-5-5 📝 有解析
第9-5-5题
5．设 $2 \sin (x+2 y-3 z)=x+2 y-3 z$ ，证明 $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=1$ ．
9-5-6 📝 有解析
第9-5-6题
6．设 $x=x(y, z), y=y(x, z), z=z(x, y)$ 都是由方程 $F(x, y, z)=0$ 所确定的具有连续偏导数的函数，证明 $\frac{\partial x}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}=-1$ ．
9-5-7 📝 有解析
第9-5-7题
7．设 $\Phi(u, v)$ 具有连续偏导数，证明由方程 $\Phi(c x-a z, c y-b z)=0$ 所确定的函数 $z=f(x, y)$ 满足 $a \frac{\partial z}{\partial x}+b \frac{\partial z}{\partial y}=c$.
9-5-8 📝 有解析
第9-5-8题
8．设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $2 x z-2 x y z+\ln (x y z)=0$ 所确定的隐函数，求 $\mathrm{d} z$ ．
9-5-*10 📝 有解析
第9-5-*10题
＊10．设 $z^{3}-3 x y z=a^{3}$ ，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．
9-5-*9 📝 有解析
第9-5-*9题
＊9．设 $\mathrm{e}^{z}-x y z=0$ ，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ ．
9-6-1 📝 有解析
第9-6-1题
1．设 $\boldsymbol{f}(t)=f_{1}(t) \boldsymbol{i}+f_{2}(t) \boldsymbol{j}+f_{3}(t) \boldsymbol{k}, \boldsymbol{g}(t)=g_{1}(t) \boldsymbol{i}+g_{2}(t) \boldsymbol{j}+g_{3}(t) \boldsymbol{k}, \displaystyle{\lim} _{t \rightarrow t_{0}} \boldsymbol{f}(t)=\boldsymbol{u}, \displaystyle{\lim} _{t \rightarrow t_{0}} \boldsymbol{g}(t)=\boldsymbol{v}$ ，证明 $$ \displaystyle{\lim} _{t \rightarrow t_{0}}[f(t) \times g(t)]=u \times v . $$
9-6-10 📝 有解析
第9-6-10题
10．求椭球面 $x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 上平行于平面 $x-y+2 z=0$ 的切平面方程．
9-6-11 📝 有解析
第9-6-11题
11．设曲面 $3 x^{2}+y^{2}-z^{2}=27$ 的切平面通过直线 $L:\left\{\begin{array}{l}10 x+2 y-2 z=27, \\ x+y-z=0 .\end{array}\right.$ 求此切平面的方程．
9-6-12 📝 有解析
第9-6-12题
12．设 $L$ 是曲面 $\Sigma: z=y^{2}+x^{3} y$ 上一条曲线的切线，切点为 $P(2,1,9), L$ 在 $x O y$ 面上的投影平行于 $x$ 轴，求切线 $L$ 的参数方程．
9-6-13 📝 有解析
第9-6-13题
13．求旋转椭球面 $3 x^{2}+y^{2}+z^{2}=16$ 上点 $(-1,-2,3)$ 处的切平面与 $x O y$ 面的夹角的余弦．
9-6-14 📝 有解析
第9-6-14题
14．试证曲面 $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a} \quad(a\gt 0)$ 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 $a$ ．
9-6-15 📝 有解析
第9-6-15题
15．设 $\boldsymbol{u}(t), \boldsymbol{v}(t)$ 是可导的向量值函数，证明： （1）$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{u}(t) \pm \boldsymbol{v}(t)]=\boldsymbol{u}^{\prime}(t) \pm \boldsymbol{v}^{\prime}(t)$ ； （2）$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{u}(t) \cdot \boldsymbol{v}(t)]=\boldsymbol{u}^{\prime}(t) \cdot \boldsymbol{v}(t)+\boldsymbol{u}(t) \cdot \boldsymbol{v}^{\prime}(t)$ ； （3）$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{u}(t) \times \boldsymbol{v}(t)]=\boldsymbol{u}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{v}(t)+\boldsymbol{u}(t) \times \boldsymbol{v}^{\prime}(t)$ ．
9-6-2 📝 有解析
第9-6-2题
2．下列各题中，$r=f(t)$ 是空间中的质点 $M$ 在时刻 $t$ 的位置，求质点 $M$ 在时刻 $t_{0}$ 的速度向量和加速度向量以及在任意时刻 $t$ 的速率： （1）$r=f(t)=(t+1) i+\left(t^{2}-1\right) j+2 t k, t_{0}=1$ ； （2）$r=f(t)=(2 \cos t) i+(3 \sin t) j+4 t k, t_{0}=\frac{\pi}{2}$ ； （3）$r=f(t)=(2 \ln (t+1)) i+t^{2} j+\frac{1}{2} t^{2} k, t_{0}=1$ ．
9-6-3 📝 有解析
第9-6-3题
3．求曲线 $r=f(t)=(t-\sin t) i+(1-\cos t) j+\left(4 \sin \frac{t}{2}\right) k$ 在与 $t_{0}=\frac{\pi}{2}$ 相应的点处的切线及法平面方程．
9-6-4 📝 有解析
第9-6-4题
4．求曲线 $x=\frac{t}{1+t}, y=\frac{1+t}{t}, z=t^{2}$ 在对应于 $t_{0}=1$ 的点处的切线及法平面方程．
9-6-5 📝 有解析
第9-6-5题
5．求曲线 $y^{2}=2 m x, z^{2}=m-x$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切线及法平面方程．
9-6-6 📝 有解析
第9-6-6题
6．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}-3 x=0, \\ 2 x-3 y+5 z-4=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切线及法平面方程．
9-6-7 📝 有解析
第9-6-7题
7．求出曲线 $x=t, y=t^{2}, z=t^{3}$ 上的点，使在该点的切线平行于平面 $x+2 y+z=4$ ．
9-6-8 📝 有解析
第9-6-8题
8．求曲面 $\mathrm{e}^{z}-z+x y=3$ 在点 $(2,1,0)$ 处的切平面及法线方程．
9-6-9 📝 有解析
第9-6-9题
9．求曲面 $a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=1$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切平面及法线方程．
9-7-1 📝 有解析
第9-7-1题
1．求函数 $z=x^{2}+y^{2}$ 在点 $(1,2)$ 处沿从点 $(1,2)$ 到点 $(2,2+\sqrt{3})$ 的方向的方向导数．
9-7-10 📝 有解析
第9-7-10题
10．求函数 $u=x y^{2} z$ 在点 $P_{0}(1,-1,2)$ 处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数．
9-7-2 📝 有解析
第9-7-2题
2．求函数 $z=\ln (x+y)$ 在抛物线 $y^{2}=4 x$ 上点 $(1,2)$ 处，沿着这抛物线在该点处偏向 $x$ 轴正向的切线方向的方向导数．
9-7-3 📝 有解析
第9-7-3题
3．求函数 $z=1-\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)$ 在点 $\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ 处沿曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 在该点的内法线方向的方向导数．
9-7-4 📝 有解析
第9-7-4题
4．求函数 $u=x y^{2}+z^{3}-x y z$ 在点 $(1,1,2)$ 处沿方向角为 $\alpha=\frac{\pi}{3}, \beta=\frac{\pi}{4}, \gamma=\frac{\pi}{3}$ 的方向的方向导数．
9-7-5 📝 有解析
第9-7-5题
5．求函数 $u=x y z$ 在点 $(5,1,2)$ 处沿从点 $(5,1,2)$ 到点 $(9,4,14)$ 的方向的方向导数．
9-7-6 📝 有解析
第9-7-6题
6．求函数 $u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在曲线 $x=t, y=t^{2}, z=t^{3}$ 上点 $(1,1,1)$ 处，沿曲线在该点的切线正方向（对应于 $t$ 增大的方向）的方向导数．
9-7-7 📝 有解析
第9-7-7题
7．求函数 $u=x+y+z$ 在球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 上点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数．
9-7-8 📝 有解析
第9-7-8题
8．设 $f(x, y, z)=x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}+x y+3 x-2 y-6 z$ ，求 $$ \operatorname{grad} f(0,0,0) \quad \text { 及 } \operatorname{grad} f(1,1,1) . $$
9-7-9 📝 有解析
第9-7-9题
9．设函数 $u(x, y, z), v(x, y, z)$ 的各个偏导数都存在且连续，证明： （1）$\nabla(c u)=c \nabla u$（其中 $c$ 为常数）； （2）$\nabla(u \pm v)=\nabla u \pm \nabla v$ ； （3）$\nabla(u v)=v \nabla u+u \nabla v$ ； （4）$\nabla\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v \nabla u-u \nabla v}{v^{2}} \quad(v \neq 0)$ ．
9-8-1 📝 有解析
第9-8-1题
1．已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某个邻域内连续，且 $$ \displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=1, $$ 则下述四个选项中正确的是 ． （A）点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点 （B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点 （C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点 （D）根据所给条件无法判断 $(0,0)$ 是不是 $f(x, y)$ 的极值点
9-8-10 📝 有解析
第9-8-10题
10．求内接于半径为 $a$ 的球且有最大体积的长方体．
9-8-11 📝 有解析
第9-8-11题
11．抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 被平面 $x+y+z=1$ 截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值。
9-8-12 📝 有解析
第9-8-12题
12．设有一圆板占有平面闭区域 $\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．该圆板被加热，以致在点 $(x, y)$ 的温度是 $T=x^{2}+2 y^{2}-x$ ．求该圆板的最热点和最冷点．
9-8-13 📝 有解析
第9-8-13题
13．形状为椭球 $4 x^{2}+y^{2}+4 z^{2} \leqslant 16$ 的空间探测器进人地球大气层，其表面开始受热， 1 h 后在探测器的点 $(x, y, z)$ 处的温度 $T=8 x^{2}+4 y z-16 z+600$ ，求探测器表面最热的点．
9-8-2 📝 有解析
第9-8-2题
2．求函数 $f(x, y)=4(x-y)-x^{2}-y^{2}$ 的极值．
9-8-3 📝 有解析
第9-8-3题
3．求函数 $f(x, y)=\left(6 x-x^{2}\right)\left(4 y-y^{2}\right)$ 的极值．
9-8-4 📝 有解析
第9-8-4题
4．求两直线 $\left\{\begin{array}{l}y=2 x, \\ z=x+1\end{array}\right.$ 与 $\left\{\begin{array}{l}y=x+3, \\ z=x\end{array}\right.$ 之间的最短距离．
9-8-5 📝 有解析
第9-8-5题
5．求函数 $z=x y$ 在适合附加条件 $x+y=1$ 下的极大值．
9-8-6 📝 有解析
第9-8-6题
6．从斜边长为 $l$ 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．
9-8-7 📝 有解析
第9-8-7题
7．要造一个体积等于定数 $k$ 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小．
9-8-8 📝 有解析
第9-8-8题
8．在平面 $x O y$ 上求一点，使它到 $x=0, y=0$ 及 $x+2 y-16=0$ 三直线的距离平方之和为最小．
9-8-9 📝 有解析
第9-8-9题
9．将周长为 $2 p$ 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体．问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？
9-9-1 📝 有解析
第9-9-1题
1．求函数 $f(x, y)=2 x^{2}-x y-y^{2}-6 x-3 y+5$ 在点 $(1,-2)$ 的泰勒公式．
9-9-2 📝 有解析
第9-9-2题
2．求函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{x} \ln (1+y)$ 在点 $(0,0)$ 的三阶泰勒公式．
9-9-3 📝 有解析
第9-9-3题
3．求函数 $f(x, y)=\sin x \sin y$ 在点 $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$ 的二阶泰勒公式．
9-9-4 📝 有解析
第9-9-4题
4．利用函数 $f(x, y)=x^{y}$ 的三阶泰勒公式，计算 $1.1^{1.02}$ 的近似值．
9-9-5 📝 有解析
第9-9-5题
5．求函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{x+y}$ 在点 $(0,0)$ 的 $n$ 阶泰勒公式．