📝 题目
2．求函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{x} \ln (1+y)$ 在点 $(0,0)$ 的三阶泰勒公式．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求函数 $$ f(x,y)=e^x\ln(1+y) $$ 在点 $(0,0)$ 的三阶泰勒公式。 泰勒公式的一般形式为（二元函数在原点展开）： $$ f(x,y)=f(0,0)+\sum_{k=1}^{3}\frac{1}{k!}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}\right)^{(k)}f(0,0)+R_3 $$ 其中 $R_3$ 为余项。
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**第一步：计算各阶偏导数在 $(0,0)$ 的值**
1. 零阶： $$ f(0,0)=e^0\ln(1+0)=0 $$
2. 一阶偏导： $$ f_x = e^x\ln(1+y),\quad f_x(0,0)=0 $$ $$ f_y = \frac{e^x}{1+y},\quad f_y(0,0)=1 $$ 所以一阶项： $$ 0\cdot x + 1\cdot y = y $$
3. 二阶偏导： $$ f_{xx}=e^x\ln(1+y),\quad f_{xx}(0,0)=0 $$ $$ f_{xy}= \frac{e^x}{1+y},\quad f_{xy}(0,0)=1 $$ $$ f_{yy}= -\frac{e^x}{(1+y)^2},\quad f_{yy}(0,0)=-1 $$ 二阶项公式： $$ \frac{1}{2!}\big(f_{xx}x^2+2f_{xy}xy+f_{yy}y^2\big) $$ 代入： $$ \frac12(0\cdot x^2+2\cdot1\cdot xy + (-1)y^2)=xy-\frac12 y^2 $$
4. 三阶偏导： $$ f_{xxx}=e^x\ln(1+y),\quad f_{xxx}(0,0)=0 $$ $$ f_{xxy}= \frac{e^x}{1+y},\quad f_{xxy}(0,0)=1 $$ $$ f_{xyy}= -\frac{e^x}{(1+y)^2},\quad f_{xyy}(0,0)=-1 $$ $$ f_{yyy}= \frac{2e^x}{(1+y)^3},\quad f_{yyy}(0,0)=2 $$ 三阶项公式： $$ \frac{1}{3!}\big(f_{xxx}x^3+3f_{xxy}x^2y+3f_{xyy}xy^2+f_{yyy}y^3\big) $$ 代入： $$ \frac16\big(0\cdot x^3+3\cdot1\cdot x^2y+3\cdot(-1)\cdot xy^2+2\cdot y^3\big) $$ $$ =\frac16(3x^2y-3xy^2+2y^3)=\frac12 x^2y-\frac12 xy^2+\frac13 y^3 $$
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**第二步：写出三阶泰勒公式**
将零阶、一阶、二阶、三阶相加： $$ f(x,y)=0 + y + \left(xy-\frac12 y^2\right) + \left(\frac12 x^2y-\frac12 xy^2+\frac13 y^3\right) + R_3 $$ 整理得： $$ \boxed{f(x,y)=y+xy-\frac12 y^2+\frac12 x^2y-\frac12 xy^2+\frac13 y^3+R_3} $$ 其中 $R_3$ 为余项（拉格朗日型或皮亚诺型均可）。
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**难度评级**：★★☆☆☆ 理由：计算量略大但思路固定，只需逐阶求导并代入公式，无技巧性难点。