📝 题目
＊12．利用全微分证明：两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 设两个近似数分别为 $x$ 和 $y$，其真值分别为 $x_0$ 和 $y_0$，则绝对误差定义为 $$ \Delta x = x - x_0,\quad \Delta y = y - y_0. $$ 考虑函数 $u = x + y$，其全微分为 $$ du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy = 1 \cdot dx + 1 \cdot dy = dx + dy. $$ 用误差近似代替微分，即取 $$ \Delta u \approx du = dx + dy, $$ 而 $dx$ 与 $dy$ 分别近似为 $\Delta x$ 与 $\Delta y$，于是 $$ \Delta u \approx \Delta x + \Delta y. $$ 由于绝对误差通常考虑绝对值，因此和的绝对误差近似等于各自绝对误差之和，即 $$ |\Delta u| \approx |\Delta x| + |\Delta y|. $$ 这就完成了证明。
难度：★★☆☆☆