📝 题目
3．设 $z=\mathrm{e}^{x-2 y}$ ，而 $x=\sin t, y=t^{3}$ ，求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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已知 $ z = e^{x - 2y} $，且 $ x = \sin t $，$ y = t^3 $。 要求 $\frac{dz}{dt}$，这是复合函数求导，使用链式法则：
$$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}. $$
先求偏导数：
$$ \frac{\partial z}{\partial x} = e^{x - 2y}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = e^{x - 2y} \cdot (-2) = -2 e^{x - 2y}. $$
再求 $x$ 和 $y$ 对 $t$ 的导数：
$$ \frac{dx}{dt} = \cos t, \quad \frac{dy}{dt} = 3t^2. $$
代入链式法则：
$$ \frac{dz}{dt} = e^{x - 2y} \cdot \cos t + (-2 e^{x - 2y}) \cdot 3t^2 = e^{x - 2y} (\cos t - 6t^2). $$
最后将 $x = \sin t$，$y = t^3$ 代回：
$$ \frac{dz}{dt} = e^{\sin t - 2t^3} (\cos t - 6t^2). $$
因此结果为：
$$ \boxed{e^{\sin t - 2t^3} (\cos t - 6t^2)}. $$