📝 题目
4．设 $z=\arcsin (x-y)$ ，而 $x=3 t, y=4 t^{3}$ ，求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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已知： $$ z = \arcsin(x - y), \quad x = 3t, \quad y = 4t^3 $$
首先，令中间变量： $$ u = x - y = 3t - 4t^3 $$ 则 $$ z = \arcsin u $$
由链式法则： $$ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}u} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} $$
计算： $$ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}u} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} $$ $$ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = 3 - 12t^2 $$
因此： $$ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{3 - 12t^2}{\sqrt{1 - (3t - 4t^3)^2}} $$
化简被开方部分： $$ (3t - 4t^3)^2 = 9t^2 - 24t^4 + 16t^6 $$ 所以： $$ 1 - (3t - 4t^3)^2 = 1 - 9t^2 + 24t^4 - 16t^6 $$
最终结果为： $$ \boxed{\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{3 - 12t^2}{\sqrt{1 - 9t^2 + 24t^4 - 16t^6}}} $$