📝 题目
5．设 $z=\arctan (x y)$ ，而 $y=\mathrm{e}^{x}$ ，求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知 $ z = \arctan(xy) $，且 $ y = e^x $，要求 $\frac{dz}{dx}$。 这是复合函数求导，将 $ y $ 代入 $ z $ 中，得 $$ z = \arctan(x e^x) $$ 然后直接对 $ x $ 求导： $$ \frac{dz}{dx} = \frac{1}{1 + (x e^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x e^x) $$ 而 $$ \frac{d}{dx}(x e^x) = e^x + x e^x = e^x(1+x) $$ 因此 $$ \frac{dz}{dx} = \frac{e^x(1+x)}{1 + x^2 e^{2x}} $$
难度：★☆☆☆☆