📝 题目
6．设 $u=\frac{\mathrm{e}^{a x}(y-z)}{a^{2}+1}$ ，而 $y=a \sin x, z=\cos x$ ，求 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
已知： $$ u = \frac{e^{a x}(y - z)}{a^2 + 1}, \quad y = a \sin x, \quad z = \cos x $$ 其中 $a$ 为常数。
首先代入 $y$ 和 $z$： $$ y - z = a \sin x - \cos x $$ 因此 $$ u = \frac{e^{a x}(a \sin x - \cos x)}{a^2 + 1} $$
现在对 $x$ 求导。由于 $a^2+1$ 是常数，只需对分子求导： 设 $$ v(x) = e^{a x}(a \sin x - \cos x) $$ 那么 $$ \frac{du}{dx} = \frac{1}{a^2+1} \cdot v'(x) $$
用乘积法则求 $v'(x)$： $$ v'(x) = (e^{a x})' (a \sin x - \cos x) + e^{a x} (a \sin x - \cos x)' $$ 其中 $$ (e^{a x})' = a e^{a x} $$ $$ (a \sin x - \cos x)' = a \cos x + \sin x $$ 所以 $$ v'(x) = a e^{a x}(a \sin x - \cos x) + e^{a x}(a \cos x + \sin x) $$ 合并同类项： $$ v'(x) = e^{a x} \big[ a^2 \sin x - a \cos x + a \cos x + \sin x \big] $$ 注意 $-a\cos x + a\cos x$ 抵消，剩下： $$ v'(x) = e^{a x} (a^2 \sin x + \sin x) = e^{a x} \sin x (a^2 + 1) $$
因此 $$ \frac{du}{dx} = \frac{1}{a^2+1} \cdot e^{a x} \sin x (a^2+1) = e^{a x} \sin x $$
最终结果为： $$ \boxed{\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}= e^{a x} \sin x} $$