📝 题目
＊7．计算 $1.97^{1.05}$ 的近似值（ $\ln 2=0.693$ ）．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求计算 $1.97^{1.05}$ 的近似值。 考虑函数 $$ f(x,y) = x^y $$ 取 $x_0 = 2$，$y_0 = 1$，则 $$ \Delta x = 1.97 - 2 = -0.03,\quad \Delta y = 1.05 - 1 = 0.05 $$ 利用二元函数的全微分近似公式： $$ f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) \approx f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\Delta x + f_y(x_0,y_0)\Delta y $$ 先求偏导数： $$ f_x = y x^{y-1},\quad f_y = x^y \ln x $$ 在 $(2,1)$ 处： $$ f(2,1) = 2^1 = 2 $$ $$ f_x(2,1) = 1 \cdot 2^{0} = 1 $$ $$ f_y(2,1) = 2^1 \cdot \ln 2 = 2 \cdot 0.693 = 1.386 $$ 代入近似公式： $$ 1.97^{1.05} \approx 2 + 1 \cdot (-0.03) + 1.386 \cdot 0.05 $$ 先计算第二项： $$ 1.386 \times 0.05 = 0.0693 $$ 因此 $$ 1.97^{1.05} \approx 2 - 0.03 + 0.0693 = 2.0393 $$ 所以近似值为 $2.0393$。
难度：★★☆☆☆