📝 题目
＊8．已知边长为 $x=6 \mathrm{~m}$ 与 $y=8 \mathrm{~m}$ 的矩形，如果 $x$ 边增加 5 cm 而 $y$ 边减少 10 cm ，问这个矩形的对角线的近似变化怎样？
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们已知矩形边长分别为 $x = 6 \, \mathrm{m}$，$y = 8 \, \mathrm{m}$，对角线长度 $$ d = \sqrt{x^2 + y^2}. $$ 当 $x$ 增加 $5 \, \mathrm{cm} = 0.05 \, \mathrm{m}$，$y$ 减少 $10 \, \mathrm{cm} = -0.10 \, \mathrm{m}$ 时，可以用全微分近似计算对角线的变化量。
先求偏导数： $$ \frac{\partial d}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad \frac{\partial d}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}. $$
代入 $x=6, y=8$，此时 $$ \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10. $$ 所以： $$ \frac{\partial d}{\partial x} = \frac{6}{10} = 0.6, \quad \frac{\partial d}{\partial y} = \frac{8}{10} = 0.8. $$
全微分近似： $$ \Delta d \approx \frac{\partial d}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial d}{\partial y} \Delta y = 0.6 \times 0.05 + 0.8 \times (-0.10). $$
计算： $$ 0.6 \times 0.05 = 0.03, \quad 0.8 \times (-0.10) = -0.08, $$ 所以 $$ \Delta d \approx 0.03 - 0.08 = -0.05 \, \mathrm{m}. $$
因此，对角线近似缩短 $5 \, \mathrm{cm}$。
难度：★☆☆☆☆