📝 题目
＊9．设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为 0.1 cm ，内高为 20 cm ，内半径为 4 cm ．求这个容器外壳体积的近似值．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们考虑一个无盖圆柱形容器，其内高 $h = 20\,\text{cm}$，内半径 $r = 4\,\text{cm}$，壁与底的厚度均为 $0.1\,\text{cm}$。 外壳体积可以看作内外两个圆柱体积之差，再加上底部的圆盘体积（注意底部也有厚度）。
**步骤1：计算外壳侧壁的体积** 侧壁体积 = 外圆柱体积减去内圆柱体积（高度相同）。 外半径 $R = r + 0.1 = 4.1\,\text{cm}$，内半径 $r = 4\,\text{cm}$，高度为 $h = 20\,\text{cm}$。 $$ V_{\text{侧}} = \pi R^2 h - \pi r^2 h = \pi h (R^2 - r^2) $$ 代入数值： $$ V_{\text{侧}} = \pi \cdot 20 \cdot (4.1^2 - 4^2) $$ 计算： $$ 4.1^2 = 16.81,\quad 4^2 = 16,\quad 16.81 - 16 = 0.81 $$ 所以： $$ V_{\text{侧}} = 20\pi \cdot 0.81 = 16.2\pi \ \text{cm}^3 $$
**步骤2：计算底部圆盘体积** 底部是一个半径为外半径 $R = 4.1\,\text{cm}$、厚度为 $0.1\,\text{cm}$ 的圆盘。 $$ V_{\text{底}} = \pi R^2 \cdot 0.1 = \pi \cdot 16.81 \cdot 0.1 = 1.681\pi \ \text{cm}^3 $$
**步骤3：总体积** $$ V = V_{\text{侧}} + V_{\text{底}} = (16.2 + 1.681)\pi = 17.881\pi \ \text{cm}^3 $$ 取 $\pi \approx 3.1416$： $$ V \approx 17.881 \times 3.1416 \approx 56.17 \ \text{cm}^3 $$
因此，容器外壳体积的近似值为： $$ \boxed{56.2\ \text{cm}^3} $$
难度：★☆☆☆☆ （只需简单几何体积公式与加减运算，无积分或复杂推导。）