📝 题目
10．求椭球面 $x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 上平行于平面 $x-y+2 z=0$ 的切平面方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知椭球面方程为 $$ x^{2}+2y^{2}+z^{2}=1 $$ 设切点为 $(x_0, y_0, z_0)$，则椭球面在该点的法向量为梯度 $$ \nabla F = (2x_0,\; 4y_0,\; 2z_0) $$ 即法向量可取为 $$ \mathbf{n} = (x_0,\; 2y_0,\; z_0) $$ 所求切平面平行于平面 $$ x - y + 2z = 0 $$ 该平面的法向量为 $$ \mathbf{n}_0 = (1,\; -1,\; 2) $$ 两平面平行等价于它们的法向量共线，即存在常数 $\lambda$ 使得 $$ (x_0,\; 2y_0,\; z_0) = \lambda (1,\; -1,\; 2) $$ 于是 $$ x_0 = \lambda,\quad 2y_0 = -\lambda \Rightarrow y_0 = -\frac{\lambda}{2},\quad z_0 = 2\lambda $$ 代入椭球面方程： $$ \lambda^{2} + 2\left(-\frac{\lambda}{2}\right)^{2} + (2\lambda)^{2} = 1 $$ 计算得 $$ \lambda^{2} + 2\cdot\frac{\lambda^{2}}{4} + 4\lambda^{2} = \lambda^{2} + \frac{\lambda^{2}}{2} + 4\lambda^{2} = \frac{11}{2}\lambda^{2} = 1 $$ 所以 $$ \lambda^{2} = \frac{2}{11},\quad \lambda = \pm\sqrt{\frac{2}{11}} $$ 因此切点为 $$ \left(\sqrt{\frac{2}{11}},\; -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{11}},\; 2\sqrt{\frac{2}{11}}\right),\quad \left(-\sqrt{\frac{2}{11}},\; \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{11}},\; -2\sqrt{\frac{2}{11}}\right) $$ 切平面方程为 $$ x_0(x - x_0) + 2y_0(y - y_0) + z_0(z - z_0) = 0 $$ 利用法向量共线关系，可简化为 $$ 1\cdot(x - x_0) - 1\cdot(y - y_0) + 2\cdot(z - z_0) = 0 $$ 即 $$ x - y + 2z = x_0 - y_0 + 2z_0 $$ 代入 $x_0 = \lambda,\; y_0 = -\frac{\lambda}{2},\; z_0 = 2\lambda$，得 $$ x_0 - y_0 + 2z_0 = \lambda - \left(-\frac{\lambda}{2}\right) + 4\lambda = \lambda + \frac{\lambda}{2} + 4\lambda = \frac{11}{2}\lambda $$ 当 $\lambda = \sqrt{\frac{2}{11}}$ 时，右端为 $$ \frac{11}{2}\sqrt{\frac{2}{11}} = \sqrt{\frac{11}{2}} $$ 当 $\lambda = -\sqrt{\frac{2}{11}}$ 时，右端为 $$ -\sqrt{\frac{11}{2}} $$ 因此两个切平面方程为 $$ x - y + 2z = \pm\sqrt{\frac{11}{2}} $$
难度：★★☆☆☆