📝 题目
11．设曲面 $3 x^{2}+y^{2}-z^{2}=27$ 的切平面通过直线 $L:\left\{\begin{array}{l}10 x+2 y-2 z=27, \\ x+y-z=0 .\end{array}\right.$ 求此切平面的方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**第一步：确定直线的方向向量与点** 直线 $L$ 由两个平面方程联立给出： $$ \begin{cases} 10x + 2y - 2z = 27, \\ x + y - z = 0. \end{cases} $$ 两平面的法向量分别为 $\vec{n}_1 = (10, 2, -2)$，$\vec{n}_2 = (1, 1, -1)$。 直线的方向向量为： $$ \vec{s} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 10 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (2\cdot(-1) - (-2)\cdot 1,\; (-2)\cdot 1 - 10\cdot(-1),\; 10\cdot 1 - 2\cdot 1) $$ 计算得： $$ \vec{s} = ( -2 + 2,\; -2 + 10,\; 10 - 2 ) = (0, 8, 8). $$ 方向向量可简化为 $(0,1,1)$。
再取直线上一点：令 $z = t$，由 $x+y = t$ 和 $10x+2y-2t=27$，解得： 从第二式：$10x + 2y = 27 + 2t$，与第一式 $x+y = t$ 联立。 将 $y = t - x$ 代入： $10x + 2(t-x) = 27 + 2t$ $\Rightarrow 10x + 2t - 2x = 27 + 2t$ $\Rightarrow 8x = 27$ $\Rightarrow x = \frac{27}{8}$， 则 $y = t - \frac{27}{8}$。取 $t=0$ 得一点 $P_0\left(\frac{27}{8}, -\frac{27}{8}, 0\right)$。
**第二步：设切点并写出切平面方程** 曲面为 $F(x,y,z) = 3x^2 + y^2 - z^2 - 27 = 0$。 梯度为： $$ \nabla F = (6x,\; 2y,\; -2z). $$ 设切点为 $(x_0, y_0, z_0)$，则切平面方程为： $$ 6x_0 (x - x_0) + 2y_0 (y - y_0) - 2z_0 (z - z_0) = 0, $$ 化简为： $$ 3x_0 x + y_0 y - z_0 z = 3x_0^2 + y_0^2 - z_0^2 = 27. $$ 即切平面方程为： $$ 3x_0 x + y_0 y - z_0 z = 27. \tag{1} $$
**第三步：直线在切平面上的条件** 直线 $L$ 在切平面上，则 $P_0$ 满足(1)，且方向向量 $(0,1,1)$ 与切平面法向量 $(3x_0, y_0, -z_0)$ 垂直。
(1) 代入 $P_0$： $$ 3x_0 \cdot \frac{27}{8} + y_0 \cdot \left(-\frac{27}{8}\right) - z_0 \cdot 0 = 27, $$ 即 $$ \frac{81}{8}x_0 - \frac{27}{8}y_0 = 27 \quad\Rightarrow\quad 81x_0 - 27y_0 = 216. $$ 两边除以 27： $$ 3x_0 - y_0 = 8. \tag{2} $$
方向垂直条件： $$ (3x_0, y_0, -z_0) \cdot (0,1,1) = 0 \quad\Rightarrow\quad y_0 - z_0 = 0 \quad\Rightarrow\quad y_0 = z_0. \tag{3} $$
**第四步：利用曲面方程求解切点** 曲面方程： $$ 3x_0^2 + y_0^2 - z_0^2 = 27. $$ 由(3) $y_0 = z_0$，代入得： $$ 3x_0^2 + y_0^2 - y_0^2 = 27 \quad\Rightarrow\quad 3x_0^2 = 27 \quad\Rightarrow\quad x_0^2 = 9 \quad\Rightarrow\quad x_0 = \pm 3. $$
由(2)： 若 $x_0 = 3$，则 $3\cdot 3 - y_0 = 8 \Rightarrow 9 - y_0 = 8 \Rightarrow y_0 = 1$，从而 $z_0 = 1$。 若 $x_0 = -3$，则 $3(-3) - y_0 = 8 \Rightarrow -9 - y_0 = 8 \Rightarrow y_0 = -17$，从而 $z_0 = -17$。
**第五步：写出切平面方程** 对于切点 $(3,1,1)$，由(1)得： $$ 3\cdot 3 x + 1\cdot y - 1\cdot z = 27 \quad\Rightarrow\quad 9x + y - z = 27. $$ 对于切点 $(-3,-17,-17)$，得： $$ 3(-3)x + (-17)y - (-17)z = 27 \quad\Rightarrow\quad -9x - 17y + 17z = 27. $$ 两边乘以 $-1$ 得： $$ 9x + 17y - 17z = -27. $$
因此，所求切平面方程为： $$ \boxed{9x + y - z = 27 \quad\text{或}\quad 9x + 17y - 17z = -27}. $$
难度：★★★☆☆