📝 题目
12．设 $L$ 是曲面 $\Sigma: z=y^{2}+x^{3} y$ 上一条曲线的切线，切点为 $P(2,1,9), L$ 在 $x O y$ 面上的投影平行于 $x$ 轴，求切线 $L$ 的参数方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
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已知曲面方程为 $$ z = y^{2} + x^{3} y. $$ 切点为 $P(2,1,9)$，验证该点满足曲面方程： $$ y^{2} + x^{3} y = 1^{2} + 2^{3} \cdot 1 = 1 + 8 = 9, $$ 所以点 $P$ 在曲面上。
曲面在点 $P$ 处的法向量为 $$ \mathbf{n} = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right), $$ 其中令 $F(x,y,z) = z - y^{2} - x^{3} y = 0$。 计算偏导数： $$ \frac{\partial F}{\partial x} = -3x^{2} y, \quad \frac{\partial F}{\partial y} = -2y - x^{3}, \quad \frac{\partial F}{\partial z} = 1. $$ 在点 $P(2,1,9)$ 处： $$ \frac{\partial F}{\partial x}\big|_{P} = -3 \cdot 4 \cdot 1 = -12, $$ $$ \frac{\partial F}{\partial y}\big|_{P} = -2 \cdot 1 - 8 = -10, $$ $$ \frac{\partial F}{\partial z}\big|_{P} = 1. $$ 因此法向量为 $$ \mathbf{n} = (-12, -10, 1). $$
设切线 $L$ 的方向向量为 $\mathbf{v} = (a, b, c)$。由于切线在曲面上，故切向量垂直于法向量： $$ \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 0 \quad\Rightarrow\quad -12a - 10b + c = 0. $$ 又已知切线在 $xOy$ 面上的投影平行于 $x$ 轴，即投影方向向量为 $(1,0,0)$ 的倍数，这意味着切线的方向向量在 $xOy$ 面上的分量 $(a,b)$ 与 $x$ 轴平行，因此 $$ b = 0. $$ 代入垂直条件： $$ -12a + c = 0 \quad\Rightarrow\quad c = 12a. $$ 取 $a = 1$，则方向向量为 $$ \mathbf{v} = (1, 0, 12). $$
因此切线 $L$ 的参数方程为 $$ \begin{cases} x = 2 + t, \\ y = 1, \\ z = 9 + 12t, \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}. $$
难度：★★☆☆☆